Электричество и магнетизм. Лекция 14. Индуктивность. Цепи переменного тока. Энергия электро-магнитного поля

1.

Электричество и магнетизм
Лекция 14
Индуктивность
Цепи переменного тока
Энергия электро-магнитного поля.
01 декабря 2021 года
Лектор: доцент НИЯУ МИФИ,
Ольчак Андрей Станиславович

2.

ИНДУКТИВНОСТЬ
САМОИНДУКЦИЯ
Взаимная индукция

3.

Явление самоиндукции
B
I
Индуктивность контура
I B
Индуктивность контура L = коэффициент
пропорциональности между током в контуре
и создаваемым им магнитным потоком через
сам контур.
LI
Тл м2 Вб
1 Гн =
А
А
Note 1. Индуктивность L > 0.
Note 2. В отсутствие ферромагнетиков индуктивность контура
зависит только от его геометрии, площади и от магнитной
проницаемости среды (незначительно).

4.

Явление самоиндукции
ЭДС самоиндукции
Самоиндукция = изменение тока в контуре, вызванное изменением
потока собственного магнитного поля через сам контур.
d s
dt
Ф = LI =>
dI
L
dt
L const
По правилу Ленца, возникающая ЭДС самоиндукции направлена
против порождающей ее причины.
Если dI/dt>0 ЭДС будет направлена против усиливающегося тока
Если dI/dt>0 ЭДС будет поддерживать ослабевающий ток

5.

Взаимная индукция
Взаимная индукция: возникновение ЭДС индукции в близко
расположенных контурах при изменении магнитного потока,
создаваемого токами в этих контурах
2 I1 2 L21 I1
Коэффициент пропорциональности L21 между током в первом
контуре и создаваемым им магнитным потоком через второй
контур называется коэффициентом взаимной индуктивности.

6.

Взаимная индукция
2 L21 I1
=> 1 L12 I 2 Контуры 1 и 2 называются
Теорема взаимности
индуктивно-связанными.
L12 L21
Note 1. Коэффициенты L12 и L21 зависят от формы, размеров и
взаимного расположения контуров.
Note 2. Коэффициенты L12
и L21 могут принимать как
положительные, так и
отрицательные значения
n1
n2
L12 0
n1 n 2
L12 0

7.

Взаимная индукция
Теорема взаимности. Доказательство (для
самостоятельного ознакомления) с
использованием понятия векторного потенциала
магнитного поля
R r r1
1 n1
I1
dr1
r1
n2
R
r
O
2
L12 L21
dr1 R
R3
Покажем, что: B1 r A1
0 I1 dr1
где A1 r
4
R
0 I1
B1 r
4

8.

Взаимная индукция
Теорема взаимности. Доказательство (для
самостоятельного ознакомления) с использованием
понятия векторного потенциала магнитного поля
L12 L21
1 n1
I1
dr1
n2
R
r1
2
B1 A1
r
O
2 B1 dS2 A1 dS2
S2
S2
L21 I1
A1 dr2

9.

Самоиндукция и взаимная индукция
Ф1 = Ф11 + Ф12 => ε1 = dФ1/dt = L11dI1/dt + L12dI2/dt =>
Ф2 = Ф21 + Ф22 => ε2 = dФ2/dt = L21dI1/dt + L22dI2/dt =>
Фi = ΣkФik => εi = Σk LikdIk/dt = LikdIk/dt
Коэффициенты Lik пропорциональны числу витков в катушках i,
k => способ преобразования амплитуды переменного
напряжения (трансформатор, П.Н.Яблочков, патент 1876)

10.

Цепи переменного тока

11.

Переходные процессы в RL- и RC- цепях
Переходный процесс: включили питание (t=0). Что
происходит в первые мгновения? Как меняется ток I(t)?
Или: вЫключили питание (t=0). Как меняется ток I(t)?
U = IR = Q/C =>
dQ/dt = -Q/CR =>
Q(t) = Q0exp(-t/CR)
U = IR = -LdI/dT=>
dI/dt = -IR/L =>
I(t) = I0exp(-Rt/L)
Q(t) = Q0(1-еxp(-t/CR))
I(t) = I0 (1- еxp(-t/CR))
или
или

12.

Колебательный контур
Идеальный колебательный контур (oscillating circuit)
Q(t=0) = Q0 ; I(t=0) = 0 ; R = 0
Ld2Q/dt2 + Q/C = 0
Q(t) = Q0 cos(ω0t+φ0);
ω0 = (LC)-1/2
Реальный колебательный контур (R>0)
Q(t=0) = Q0 ; I(t=0) = 0 ; R > 0
Ld2Q/dt2 + RdQ/dt +Q/C = 0
Q(t) = Q0exp (-βt)cos(ωt);
β = R/2L; ω0 = (LC)-1/2
ω = (ω02 - β2)1/2= ω0 (1- R2C/4L)1/2
ω0 = (LC)-1/2

13.

Затухающие колебания
Свободные затухающие колебания.
13

14.

Цепи переменного тока
Колебательный контур и источник переменного напряжения
Вынужденные колебания
Ld2Q/dt2 + RdQ/dt +Q/C =U0cos(Ωt)
Q(t) = QA cos(Ωt - α); QA = U0 /ΩZ;
Z = ((1/СΩ - LΩ)2 + R2)1/2
Z – полное сопротивление цепи
tg α = RCΩ /(1- LCΩ 2)
UR = RI(t) = RdQ/dt = RI0 cos(Ωt – α + π/2) =
= RI0 cos(Ωt + φ); φ = π/2– α ; I0 = ΩQA = U0 /Z
UC = Q/C = (U0/ΩCZ)cos(Ωt + φ - π/2);
UL = (LΩU0/Z)cos(Ωt + φ + π/2);
LΩ – индуктивное сопротивление; 1/СΩ - емкостное сопротивление

15.

Цепи переменного тока
Векторная диаграмма напряжений
UR = U0 (R/Z) cos(Ωt + φ);
UC = U0 (R/Z) cos(Ωt + φ - π/2);
UL = (U0 (R/Z) cos(Ωt + φ + π/2);
RL = LΩ – индуктивное сопротивление;
RC = 1/СΩ - емкостное сопротивление
Z = [R2 + (RC - RL)2]½ - полное
UL
UC
сопротивление
UR
U0

16.

Цепи переменного тока
Колебательный контур и источник переменного напряжения
Резонанс
Резонанс тока
I0 = ΩU0 /L((ω02-Ω2)2+4β2Ω2)1/2
dI0/d Ω =0 => ΩresR = ω0 = (LC)-1/2
Резонанс напряжения
UC0 = U0 /LC((ω02-Ω2)2+ 4β2Ω2)1/2
dUC0 /dΩ =0 => ΩresU = (ω02-2β2)1/2
ΩresU = (1/LC – R/L)1/2
β = R/2L; ω0 = (LC)-1/2
16

17.

Переменный ток
Закон Джоуля-Ленца в цепи переменного тока:
P = UI = I2R = I02cos2(t) =>
<P> = I02R/2 = Iд2R = I д U д = Uд2/R
=>Iд = I0 /√2; Uд = U0 /√2
P = UI = U0 cos(Ωt)I0 cos(Ωt + φ)
<P> = U0I0 <cos(Ωt)cos(Ωt + φ))> =
= U0I0 <cos(2Ωt + φ)) + cos(φ))>/2 =
= U0I0 cos(φ)/2 = Uд2cos(φ)/R
ctg(φ) = RCΩ /(1- LCΩ 2) => cos(φ) = R/Z
Z = [R2 +(1/CΩ –LΩ)2]1/2

18.

Цепи переменного тока
Общая постановка задачи
U = U0 cos ωt
I = I0 cos (ωt+φ) =>
UR = IR = I0Rcos (ωt+φR)
UR = IR = IR0cos (ωt+φ)
UL = UL0cos (ωt+φL)
UC = UC0cos (ωt+φC)
Задача: знаем U0 , R, L, С
Надо найти UR0 = RI0 , UL0 UC0 ,….. φR, φL, φC
…….

19.

Трансформатор
U2/U1 = n2/n1

20.

Дополнение.
История электрогенерации

21.

Электромагнитная индукция
Главное практическое
применение электромагнитной
индукции – это
генерация электроэнергии
Технические детали производства,
переработки и передачи
электрической энергии на расстояние вращение контура в магнитном
были отработаны трудами большого поле
числа изобретателей и инженеров,
среди которых такие знаменитые
имена, как Никола Тесла, Вернер фон
Сименс, Эмилий Христианович Ленц
и иногие другие.

22.

F k
q1q2
r2
Дополнение: история электрогенерации
В 1831 году Майкл Фарадей на основе открытого им
явления электромагнитной индукции построил
генератор электрического напряжения (т.н. «диск
Фарадея»). Небольшое напряжение появляется
между серединой и периферией медного диска,
вращающегося между полюсами
подковообразного магнита).
Позже эксперименты показали, что используя вместо
диска катушку из многих витков провода, можно
получить куда более высокое напряжение.
Michael Faraday
1791-1861
Катушки стали характерной частью всех
последующих генераторов
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

23.

F k
q1q2
r2
Дополнение: история электрогенерации
Первый действующий электрогенератор, работающий на
принципах электромагнитной индукции, построил в 1827 г.
- ещё до публикации открытий Фарадея – монах, физик и
изобретатель венгр Иштван Йедлик Он же в 1829 г
сконструировал один из первых электродвигателей, в
1840-ые Йедлик спроектировал электро-локомотив, а
потом еще (sic!) содовую газировку!
Jedlik István Ányos
Очень скромный человек, Йедлик не публиковал и не
1800-1895
патентовал своих изобретений. Он вырос и учился в Словакии
(тогда – часть Венгрии), потом вступил в орден Бенедиктинцев,
преподавал физику в орденких школах в Пребурге (Братислава).
С 1839 года он преподавал физику в Будапештском
университете, а с 1863 года стал его ректором.
О своем изобретении динамо-машины Йедлик публично
заявил по настоянию коллег только в середине 1850-х,
когда идея уже была запатентована Вернером фон
Сименсом (1816-1892
Werner von Siemens
1816-1892
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

24.

F k
q1q2
r2
Дополнение: история электрогенерации
Россиянин Э.Х. Ленц первым дал математичекую
формулировку законам электромагнитной индукции.
В 1833 году он высказал идею о том, что одна и та
же машина может работать и как электродвигатель,
если её питать током, и как генератор электротока,
если её ротор вращать механически,
В 1838 году он сам доказал эту возможность
Эмилий Христианович
экспериментально.
Ленц ,1804-1865
Стало понятно, что электричество – это не только
интересный объект для научного исследования, но
может оказаться весьма удобным способом
приведения в движение различных механизмов
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

25.

F k
q1q2
r2
Дополнение: история электрогенерации
Для получения большой мощности электрогенератора –
нужно сильное магнитное поле. В 1830-40-ые годы в
динамо-машинах применяли только постоянные
магниты. В 1850-60-ые стали делать генераторы с
электромагнитами, обмотка которых питалась током от
отдельного генератора с постоянными магнитами.
В 1860-ые А. Пачинотти и З.Т. Грамм получили патенты
на машины с самовозбуждением, где магнит
запитывался током, генерируемым самой машиной.
В 1873 году бельгийский инженер З.Т. Грамм
продемонстрировал две соединённые проводами ~1км.
машины, одна из которых (снабженная двигателем
внутреннего сгорания) служила генератором и питала
электроэнергией вторую, приводившую в движение
насос. Это была эффектная демонстрация возможности
практического использования электроэнергии.
Zénobe-Théophile
Gramme,
1826-1901

26.

F k
q1q2
r2
Дополнение: история электрогенерации
В 1878 г. изобретатель и бизнесмен Т.А. Эдисон
основал компанию «Edisson Electric Light»
(позднее - General Electric) по производству и
продаже. постоянного электро-тока для систем
освещения. Параллельно он совершенствует
недавно изобретенные лампочки накаливания.
(А.Н.Ладыгин, Т.А.Эдиссон, Дж.У.Суон, и др.).
К 1879 году Эдисон доводит срок службы
лампочки до ~12 часов. (сегодня эта цифра кажется
Thomas Alva Edison
1847-1931
смешной, но альтернативами в те годы были только свечи и
керосиновые лампы. Эдисон обещал: «Мы сделаем
электрическое освещение настолько дешёвым, что
только богачи будут жечь свечи».
Александр Николаевич Ладыгин, 1847-1923
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

27.

F k
q1q2
r2
Дополнение: история электрогенерации
В 1880 г. Эдисон патентует трехпроводную систему
производства и передачи электроэнергии. Три
провода - нулевой и два с напряжением ±110 вольт
– дают возможность подключить питаемые
устройства к разным парам проводов. Это снижает
материалоемкость системы.
В январе 1882 года Эдисон запускает первую
электростанцию в Лондоне, а в середине года вторую на Манхэттене, мощностью ~1,5 кВт,
освещавшую дом Эдисона и помещения его
фирмы.
К 1887 году в США было уже более 100
электростанций постоянного тока, работавших по
трёхпроводной схеме Эдисона.
Thomas Alva Edisson
1847-1931
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

28.

F k
q1q2
r2
Дополнение: история электрогенерации
В 1884 году Эдисон нанимает на работу молодого
иммигранта из Австро-Венгрии Николу Тесла специально для доработки генераторов
постоянного тока, пообещав выплатить за это (по
утверждению Теслы) 50 тыс. долларов. Менее, чем
через год Тесла уволился, сочтя что Эдиссон
обманул его.
А 1886 году на взятые в долг деньги Тесла открыл
свою фирму по производству ламп уличного
освещения, и его дела пошли в гору.
В 1888 году он арендовал офис на 5-ой авеню в
Нью-Йорке, как раз около центрального офиса
компании Эдисона. Между изобретателями
разгорелась борьба, известная в истории США под
названием «Война токов» (The Currents War).
Никола Тесла
1856-1943
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

29.

F k
q1q2
r2
Дополнение: история электрогенерации
Электростанции Эдисона вырабатывали напряжение,
близкое к потребительскому (100-200 В), которое по
трехпроводной схеме и доставляли потребителям на
удалении не более ~1-1,5 км от электростанции. На
больших расстояниях потери на нагрев проводов
съедают большую часть произведенной энергии..
Q = I2R = (P/U)2R
Снизить потери можно снижая сопротивление
проводов (делая их толще, т.е. тяжелее и дороже)
или повышая напряжение. Менять напряжение
постоянного тока на тот момент не умели, а
трансформаторы для изменения амплитуды тока
переменного уже были изобретены (П.Н.Яблочков,
патент 1876j. Тесла предложил производить ток
переменный, передавать по магистральным линиям
высокого напряжения (га сотни км), а затем, понизив
напряжение, подавать потребителю.
Павел Николаевич
Яблочков
1847-1894
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

30.

F k
q1q2
r2
Дополнение: история электрогенерации
.У Эдисона был еще один серьезный конкурент инженер, изобретатель и миллионер Дж. Вестингауз,
который, неплохо знал физику и понимал, что слабое
звено системы Эдиссона - большие потери мощности в
проводах. В 1886 г. Вестингауз построил первую ГЭС,
производившую переменный ток в 500В (ГрейтБаррингтон, Массачусетс). Проблема была в отсутствии
электромоторов, способных эффективно работать на
переменном токе. Проблему решил Тесла, который в
1882 году (еще до приезда в США) изобрел многоGeorge Westinghouse
фазный электромотор на переменном токе. В 1888 году
1846-1914
он патентует свое изобретение в США и берется за
разработку генераторов переменного тока. С 1887 г.
Тесла и Вестингауз работают вместе, а Эдиссон ведет
против них компанию «серного пиара»: платит за
сплетни об особой опасности переменного тока и за
«электрический стул» Г.Брауна, якобы предоставленный
Вестингаузом
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

31.

F k
q1q2
r2
Дополнение: история электрогенерации
В 1891 году на электротехнической выставке во
Франкфурте-на-Майне немецкая компания AEG
демонстрирует линию передачи электрической мощности
около 220 кВт на расстояние 175 км. Сенсационно
высокий КПД линии (~ 80 %) был достигнут благодаря
применению т.н. трехфазного напряжения,
изобретенного русским инженером М. О. ДоливоДобровольским.
Вестингауз приобретает права на использование
трехфазной системы и в 1896 году выигрывает тендер на
строительство крупнейшей на ту пору ГЭС на Ниагарском Михаил Осипович
Доливо-Добровольский
водопаде.
1861-1919
После изобретений Теслы и Доливо-Добровольского,
система постоянного тока Эдиссона потерпела
поражение даже несмотря на то, что сам Тесла вскоре
потерял интерес к этой области исследований и занялся
изысканиями в области электромагнитных излучений,
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

32.

F k
q1q2
r2
Дополнение: история электрогенерации
Уже в начале XX века большинство электростанций выдавали именно
переменный ток, хотя все еще существовало немало потребителей
постоянного тока. Переменный ток для них преобразовывался в
постоянный с помощью ртутных выпрямителей.
Но электростанции постоянного тока строились вплоть до 1920-х годов.
Хельсинки окончательно перешёл на переменный ток в 1940-х годах,
Стокгольм в 1960-х. В США вплоть до конца 1990-х годов существовало
более 4 тысяч разрозненных потребителей постоянного тока, и только в
ноябре 2007 года было принято решение о прекращении подачи
постоянного тока по сетям и главный инженер компании «Консолидейтед
Эдисон», которая этим занималась, сам перерезал символический
кабель.
Так закончилась знаменитая «войне токов».
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

33.

F k
q1q2
r2
Дополнение: история электрогенерации
Динамика мирового производства электроэнергии (Год — млрд. кВт*ч):
1890 — 9
1900 — 15
1914 — 37,5
1950—950
1960—2300
1970 — 5000
1980 — 8250
1990 — 11 800
2000 — 14 500
2005 — 18 138
2007 — 19 895
2013 — 23 127
2015 – 23 550
2019 - 29 000
Общемировой объем электро-генерирующих мощностей в 2017 году
превысил 23 ТВт:
В 2019 году крупнейшими в мире производителями электроэнергии
являются Китай (27,8%), Северная Америка (США + Канада – 19 %).
Евросоюз (12%), Далее идут Индия (5,8%), Россия (4,1%) и Япония
(3,8%). Остальной мир – 27,5%.
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

34.

F k
q1q2
r2
Дополнение: история электрогенерации
Распределение производства электроэнергии по источникам):
Доля
Уголь
Природный
газ
ГЭС
АЭС
Нефть
Прочие
Всего
1973 год
38,3 %
12,1 %
20,9 %
3,3 %
24,8 %
0,6 %
6 131 ТВт
2014 год
40,8 %
21,6 %
16,4 %
10,6 %
4,3 %
6,3 %
23 816 ТВт
В 2019 году возобновляемая энергетика (ветер, солнце) выдала 5,3%
мирового производства электроэнергии (около 20% европейского
производства) и, как казалось, окончательно утвердилась в качестве
самого быстрорастущего, основного сектора энергетического рынка.
Только в 2017 году было введено в эксплуатацию более 150 ГВт новых
мощностей солнечной и ветровой генерации.
Однако, в 2020-21 годы пандемия, климатические и экономические
неурядицы заставили усомниться в возможности скорого отказа от
углеводородов и атомной энергетики…
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

35.

F k
q1q2
r2
История физики и инженерии
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

36.

Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ
Спасибо за внимание!
Следующие лекции
08 и 15 декабря

37.

Энергия магнитного и
электромагнитного поля

38.

Энергия магнитного поля
Энергия магнитного поля изолированного
контура с током
s IR IR s dq Idt
dAстор dq IR s Idt
d
I Rdt s Idt d Q
Idt
dt
d Q Id d Q dWмагн
2
dWмагн Id ILdI
d LI
2
B
2
Wмагн
LI 2 I 2
2
2
2L

39.

Энергия магнитного поля
Энергия магнитного поля индуктивно
связанных контуров с током
1 11 12
2 22 21
dW = I1dФ1 + I2dФ2 =
= I1(dФ11 + dФ12 ) + I2(dФ22 + dФ21 )
I1 L1dI1 L12 dI 2 I 2 L2dI 2 L12dI1
L1 I12
L2 I 22
d
L12 I1dI 2 I 2 dI1 d
2
2
2
1 1
2
2 2
LI
LI
W
L12 I1 I 2
2
2
1 N N
W Lik I i I k
2 i 1 k 1
Lii Li

40.

Энергия магнитного поля
Энергия магнитного поля соленоида
W = LI2/2 =μ0μn2VI2/2 = wV = > w = μ0μn2I2/2
Плотность энергии магнитного поля
w = μ0μn2I2/2 ; B = μ0μnI => w = B2/2μ0μ = μ0μH2/2
Плотность энергии электро-магнитного поля
w = B2/2μ0μ + D2/2ε0ε = μ0μH2/2 + ε0εE2/2 =
= BH/2 + DE/2
Последняя формула верна даже анизотропном веществе

41.

Энергия электро-магнитного поля
Плотность энергии электромагнитного поля
w wэл wмаг
E D B H
2
2
Энергия электромагнитного поля
W wdV
V
V
E D dV B H dV
2
V
2

42.

Энергия магнитного поля
Плотность магнитной энергии: вывод с помощью векторного
потенциала магнитного поля. Для самостоятельной проработки.
I I
W
B dS B A
2
2S
I
I
A dl
W A dS
2S
2
1
Id l jdV W A j dV
2 Vпров
B
Интеграл от плотности тока по объему проводника равен интегралу по всему
объйму пространства V, поскольку везде за пределами проводника плотность
тока равна нулю.
Vпров V V
1
W A j dV
2V

43.

Энергия магнитного поля
Векторная алгебра магнитного поля.
A H H A A H H B A j
A j H B A H
1
1
W H B dV A H dV
2
2
V
V
V
H B dV 1
2
W wdV
2
1
0
3
r
r
V
H
B
0
w
B H
w
2
B2
2 0