Электронные лекции по разделам оптики, квантовой механики, атомной и ядерной физики

1. Омский государственный технический университет Кафедра физики

Калистратова Л.Ф.
Электронные лекции по разделам оптики,
квантовой механики, атомной и ядерной физики
9 лекций
(18 аудиторных часов)

2. Лекция 2. Волновая оптика. Дифракция и дисперсия света

План лекции
2.1. Дифракция света. Принцип Гюйгенса. Принцип
Гюйгенса-Френеля.
2.2. Метод зон Френеля.
2.3. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске.
2.4. Дифракция Фраунгофера на щели.
2.5. Дифракция Фраунгофера на дифракционной
решётке.
2.6. Дифракция рентгеновских лучей.
2.7. Дисперсия света.
2.8. Поглощение света. Спектры поглощения.

3. 2.1. Дифракция света. Принцип Гюйгенса. Принцип Гюйгенса-Френеля

Дифракция света - явление перераспределения
световой энергии в пространстве при наложении
бесконечно большого числа когерентных
световых волн, в результате чего образуются
максимумы и минимумы света.
В основу волновой теории света положен принцип
Гюйгенса, который позволял представить способ
получения большого числа когерентных
световых волн.

4.

Принцип Гюйгенса: каждая точка фронта волны
является источником вторичных когерентных
сферических волн.
Огибающая этих волн дает положение волнового
фронта в последующий момент времени.
Если предыдущий фронт волны был сферическим, то и
последующий фронт волны будет сферическим.
Если предыдущий фронт волны был плоским, то и
последующий фронт волны будет плоским.

5.

Сферический и плоский фронт световой волны
Сферический фронт
v
v
Плоский фронт

6.

Дифракция вторичных когерентных волн может
проявиться на резких неоднородностях среды и
привести:
- к огибанию световыми волнами препятствий;
- захождению света в область геометрической
тени.
Условия наблюдения дифракции света:
1. Если эти размеры препятствия соизмеримы с
длиной волны света, то дифракция наблюдается в
непосредственной близости от препятствия.
2. Если длина волны света много меньше размеров
препятствия, то дифракция становится заметной на
расстояниях, значительно превышающих размеры
самого препятствия.

7.

Принцип Гюйгенса не позволял рассчитать
интенсивность света в дифракционной картине.
Принцип Гюйгенса – Френеля
1. Действие источника света заменяется действием
волновой поверхности (фронта волны).
2. Каждый элемент dS этой светящейся поверхности
является источником вторичных когерентных
сферических волн.
2. Элементы поверхности dS гармонически
колеблются с амплитудой ЕО и частотой ω
согласно уравнению:
E E O sin t

8.

Принцип Гюйгенса – Френеля
k
n
dS
экран
r
Р
Ист. света
S
Волновая
поверхность
Элементы dS из точки Р видны под разными углами,
поэтому они дают разный вклад в суммарную
амплитуду в точке Р.

9.

4. Колебание от элемента dS пройдёт расстояние r до
точки наблюдения Р на экране и дойдёт в виде
сферической волны той же частоты, но с
уменьшенной амплитудой:
E O dS
dE P
sin( t kr )
r
5. Волны, пришедшие от всех элементов dS волновой
поверхности, накладываясь, дают на экране
дифракционную картину в виде чередования
максимумов и минимумов.
6. Результирующая амплитуда световой волны в
точке Р запишется через интегральное
суммирование амплитуд волн, пришедших от всех
элементов поверхности S.

10.

E O dS
E P B( )
sin( t k r )
r
S
( ) зависят от значения угла между
Множители B
вектором k
к элементам поверхности dS и
радиусом-вектором r до точки наблюдения Р.
O
0
При
В=1
90O
В=0
Поскольку вычисление интеграла – сложная задача,
Френель предложил геометрический метод сложения
амплитуд, названный методом зон Френеля.

11. 2.2. Метод зон Френеля

Полностью открытый фронт волны разделим на
зоны Френеля геометрически с помощью циркуля.
Зоны Френеля на сферическом фронте волны
представляют собой сферические сегменты.

12.

Сферический фронт волны (красная линия)
2
b 2 b1
2
b3 b2
2
b1 b
k
bn
rk
b2
b1
0
3
a
2
P
b
1
b

13.

Введём расстояния:
а – от источника света до сферического фронта волны;
b - от фронта волны до точки Р на экране.
На волновой поверхности проведём b1 b 2
ряд окружностей радиусами:
b 2 b1
2
b3 b 2
Нумеруем зоны: 0,1, 2, 3,…,k,…n .
2
......................
Общее число зон (N)– велико,
b n b n 1
практически стремится
2
к бесконечности.

14.

Площадь всех зон
- одинакова;
- не зависит от номера зоны.
ab
S
a b
Радиус зон
- для сферического фронта волны:
rk
k
1 1
a b
- для плоского фронта волны ( a
rk
k ab
a b
):
k b

15.

Амплитуды волн, приходящих в точку экрана Р от
каждой последующей зоны, обозначим
соответственно через
ЕО, Е1, Е2, Е3, …, Еn
Расстояния, проходимые волнами от краёв соседних
зон, отличаются на / 2 , поэтому в точку Р волны
приходят в противофазах: происходит
чередование знака амплитуд.
Каждая последующая амплитуда меньше
предыдущей за счёт увеличения проходимого
волной расстояния r и увеличения угла наклона зоны
:
E O E1 E 2 E 3 ... E n

16.

Результирующая амплитуда в точке Р определяется
следующей суммой:
E P E O E1 E 2 E 3 ... E n
Выражение представляет собой монотонно убывающий
знакопеременный ряд, называемый геометрической
прогрессией.
E k 1 E k 1
Ek
2
Каждая амплитуда такого ряда определяется как
среднее арифметическое двух соседних амплитуд
этого ряда:
EO
EO
E2
E2
E4
En
EP
(
E1 ) ( E 3 ) ...
2
2
2
2
2
2
Представим теперь знакопеременный ряд в виде суммы
соответствующих «скобок». Все «скобки» равны
нулю.

17.

В итоге суммирования:
EO En
EP
2
2
При достаточно большом числе зон амплитуда
последней зоны Еn=0.
Окончательно получим
EO
EP
2
.
Вывод: результирующая амплитуда от полностью
открытого фронта волны равна половине
амплитуды волны, пришедшей от центральной
зоны Френеля.

18.

При полностью открытом фронте световой волны ( т.е.
если нет преград)
- в результате интерференции вторичных
когерентных волн уничтожается действие всех
зон, кроме центральной;
-
в однородной среде от точечного источника к
точке наблюдения свет распространяется
прямолинейно.
a b 25см, 0,1мкм
Если принять
, то число
зон N = 107, радиус центральной зоны равен 0,1 мм.

19.

Рассмотрим два случая.
1. Непрозрачный экран закрывает все зоны, кроме
центральной.
Результирующая амплитуда увеличится в 2 раза:
EP EO
2. Непрозрачный экран закрывает все нечётные зоны
(зонная пластинка).
Получим ещё большее усиление интенсивности света
на экране.

20.

Условия наблюдения
максимумов и минимумов света при дифракции
Максимумы света наблюдаются в тех точках экрана, в
которые свет приходит от нечётного числа зон
Френеля:
max : N 2k 1
Минимумы света наблюдаются, если свет в точку
наблюдения приходит от чётного числа зон
Френеля:
min : N 2k
N – число зон Френеля,
k - целое число:
k 0,1,2,3...

21. 2.3. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске

Различают два вида дифракции:
- дифракцию Френеля (дифракцию в расходящихся
лучах);
- дифракцию Фраунгофера (дифракцию в
параллельных лучах).
Схема получения дифракционной картины для
указанных типов дифракции показана на рисунках.

22.

Дифракция света на щели
экран
Френеля
экран
Фраунгофера

23.

Дифракция Френеля на круглом отверстии

24.

Пусть на непрозрачный экран с круглым отверстием
падает расходящийся пучок лучей от точечного
источника монохроматического света.
Разобьём подошедший к отверстию сферический
фронт волны на зоны Френеля.
В отверстии уложатся только несколько первых k
зон Френеля.
Остальные зоны от k+1 до n-ой зоны закрыты
непроницаемым экраном.

25.

Результирующая амплитуда в точке Р экрана
наблюдения, согласно правилу сложения амплитуд,
запишется как
E P E O E1 E 2 E 3 ... E k
EO Ek
Ep
2
2
При небольшом числе k амплитуды соизмеримы между
собой:
EO Ek
Освещённость в центре дифракционной картины на
экране зависит от числа зон Френеля, которые
уместились в круглом отверстии.

26.

Если число зон чётное, то в центре дифракционной
картины (в точке Р) будет минимум освещённости:
EO Ek
EP
0
2
2
Если число зон нечётное, то в точке Р будет
максимум освещённости:
EO Ek
EP
EO
2
2
Дифракционная картина от круглого отверстия
представляет собой чередование тёмных и светлых
(определённого цвета) колец на экране наблюдения.

27.

Анализ дифракционной картины
1. При переходе от центра дифракционной картины к
периферии интенсивность в максимумах будет
уменьшаться.
2. При изменении расстояния между источником света и
экраном будет меняться число зон,
укладывающихся в отверстие.
3. Центральное пятно при этом будет менять свою
освещённость от максимального до нулевого
значения.
4. Дифракционная картина будет наблюдаться только в
случае соизмеримости размера отверстия с длиной
волны света:
d

28.

Дифракция Френеля на круглом диске
n - зона
(k+1)-зона
P
Первые k зон закрыты диском

29.

При небольших размерах диска ( d ) свет будет
диск огибать, создавая на экране дифракционную
картину в виде чередования максимумов и
минимумов.
Суммирование амплитуд начнётся с первой открытой
(k+1) - ой зоны Френеля до последней n -ой зоны:
E k 1 E n
EP
2
2
En 0
E k 1
EP
2
Результирующая амплитуда в центральной точке
экрана не зависит от того, сколько зон закроет
непрозрачный диск.

30.

Вывод: результирующая амплитуда равна половине
амплитуды волны, пришедшей от первой
открытой зоны Френеля.
Ek 1
EP
2
В центре дифракционной картины всегда будет
наблюдаться максимум света.
Дифракция света на диске будет слабо выражена при
больших размерах диска и когда экран находится
слишком близко к диску.

31. 2.4. Дифракция Фраунгофера на щели

Рассмотрим падение плоской монохроматической
световой волны на длинную узкую прямую щель,
вырезанную в непрозрачном для света экране.
Свет проходит сквозь щель и линзу, помещённую
параллельно непрозрачному экрану.
Дифракционную картину наблюдают на экране,
расположенном в фокальной плоскости линзы.
Из всей совокупности вторичных когерентных волн
плоского фронта волны, расположенного в щели,
выделим лучи, идущие под углом к главной
оптической оси линзы.

32.

Дифракция Фраунгофера на щели
экран

33.

Вид дифракционной
картины
11
0,045
0,045
-1
0
1

34.

Все лучи, идущие под углом
одной точке экрана.
, линзой соберутся в
Дано:
а – ширина щели;
- угол дифракции;
- длина волны света;
k – порядок максимума.
Подошедший к щели плоский фронт волны разбиваем
на зоны Френеля.
Количество зон Френеля, укладывающихся на ширине
щели, зависит от угла дифракции .

35.

х
а
/2
х
Зоны Френеля выглядят как полоски, параллельные
щели.
Ширина зоны Френеля:
/2
x
sin

36.

Количество зон Френеля, уложившихся на ширине
щели:
a
N
x
a sin
N
/2
В точке Р экрана будут наблюдаться
- максимумы, если в эту точку свет приходит от
нечётного число зон Френеля:
N 2k 1
- минимумы – если свет приходит от чётного число
зон Френеля:
N 2k

37.

Условие наблюдения максимумов света:
k 0, 1, 2, 3
a sin (2k 1)
2
Условие наблюдения минимумов света:
a sin 2k
2
В дифракционной картине максимумы располагаются
симметрично по обе стороны относительно
центрального (нулевого) максимума.
Цвет всех максимумов одинаков.
Максимальный порядок максимума определяется
при значении sin 1 :
a
k max

38.

Количество максимумов в дифракционной картине
определяется как
.
2k max 1
С увеличением порядка максимума интенсивность
снижается, а угловая ширина максимума
увеличивается.
IO : I1 : I2 = 1: 0,045 : 0,016
При уменьшении ширины щели число максимумов
уменьшается, а их угловая ширина увеличивается.

39.

Чёткая дифракционная картина от щели наблюдается,
если ширина щели в несколько раз больше длины
волны:
.
a
При a получается почти равномерная
освещённость экрана: слабо освещённый широкий
центральный максимум.
При a количество максимумов становится
настолько большим, что они не будут различаться
невооружённым глазом, получится достаточно
резкое изображение щели.

40. 2.5. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решётке

Дифракционную картину на экране можно получить,
используя разное количество щелей.
Дифракционная решётка – совокупность регулярно
расположенных одинаковых дифракционных
элементов (препятствий, отверстий, щелей штрихов).

41.

Дифракционная решетка
- прибор для наблюдения дифракционного спектра

42.

Решётка имеет N щелей на длине L.
Современные приборы позволяют получить
дифракционные решётки с 1200 штрихов на 1 мм.
d
a
N
L
Основной параметр решётки – период d (постоянная)
L
d
N

43.

Схема наблюдения дифракционной картины
-2
-1
0
1
2

44.

Дифракционная картина представляет собой
чередование очень интенсивных и узких
дифракционных максимумов (главные max),
отделеных друг от друга большими тёмными
промежутками - минимумами (min).
Главные максимумы наблюдаются в направлениях:
d sin k
k 0, 1, 2, 3 - порядок главных максимумов.
Всего наблюдается
главных максимумов:
N 2k max 1

45.

Максимальный наблюдаемый порядок главного
максимума определяется условием sin 1
k max
d
В минимумах интенсивность сосредоточена в виде
большого числа небольших по энергии
дополнительных максимумах, поэтому
промежутки минимумов видны в виде слабо
светящейся полоски.
Условие наблюдения
дополнительных максимумов:
k
k
d sin
N
- принимает все целые числа, кроме 0, N, 2N, 3N,..

46.

Условие наблюдения любых минимумов:
a sin k
k - принимает все целые числа, кроме нуля.
Между двумя главными максимумами расположено:
N – 1 дополнительных минимумов и N – 2
дополнительных максимумов.
Число щелей N=10

47.

Распределение интенсивности при дифракции
света на решетках с различным числом щелей
I0 – интенсивность колебаний на одной щели

48.

При увеличении числа щелей N в дифракционной
решётке по сравнению с теми же величинами от
одной щели:
- увеличивается интенсивность главных
максимумов;
2
I N IO
- уменьшается ширина главных максимумов.
BO
B
N
Если дифракционная решётка освещается белым
светом, то на экране наблюдается дифракционный
спектр нескольких порядков.

49.

Разложение белого света в спектр с помощью
дифракционной решетки
k:
-3
-2
-1
0
1
2
3

50.

Дифракционный спектр
1. В каждом порядке наблюдаются:
- те же цветные максимумы;
- меньшей интенсивности;
- занимаемые больший угловой интервал.
2. Центральный максимум имеет белый цвет, так как
все волны с разными длинами при k = 0 придут в
одну точку экрана и, складываясь, снова образуют
белый свет.
3. Спектр – линейчатый.

51.

4. В каждом порядке ближе к нулевому положению
отсчёта углов расположена фиолетовая часть
спектра.
5. Спектры высоких порядков (3,4,5..) перекрываются
между собой.
Спектр 1-го
порядка
Спектр 2-го
порядка
Спектр 3-го
порядка
0
1
2
3

52.

Разрешающая сила оптических приборов
- важная характеристика дифракционной решётки и
других оптических приборов;
- характеризует способность решётки разделять
максимумы двух близких длин волн света 1 и
R
1 2
( 1 2 ) / 2
Разрешающая сила решётки зависит:
- от числа щелей N;
- порядка спектра k.
R kN
2

53.

Изображение любой светящейся точки, наблюдение
которой ведётся оптической системой (например,
телескопом) в монохроматическом свете
представляет собой дифракционную картину.
В центральное пятно попадает приблизительно 85 %
энергии света.

54.

Точечный источник отображается в виде центрального
светлого пятна, окружённого чередующимися
тёмными и светлыми кольцами.
Английский физик Дж. Релей в конце XIX в. предложил
изображение двух близких источников света
(например, двух звёзд) считать различимыми, если
центральный максимум дифракционной картины
от одного источника совпадает с первым
минимумом дифракционной картины от другого
источника.
При выполнении критерия Релея интенсивность
провала между максимумами составляет 80 % в
максимуме, что является достаточным для
разрешения линий
1 и 2 .

55.

Предел разрешения по Релею
Красная кривая – распределение суммарной
интенсивности света

56. 2.6. Дифракция рентгеновских лучей

Кристаллы для рентгеновских лучей являются
естественными пространственными
дифракционными решетками.
Межатомные расстояния в кристаллах соизмеримы
с длиной волны рентгеновского излучения.
Дифракцию рентгеновских лучей на кристаллах
можно представить как их рассеяние плоскостями
кристаллической решётки.

57.

При дифракции кристалл рассеивает рентгеновское
излучение плоскостями с определёнными
кристаллографическими индексами.
dНКL

58.

В направлении угла дифракции будет наблюдаться
максимум интенсивности лучей, отраженных
плоскостями одного семейства, если соблюдается
закон Вульфа - Брэггов:
2d sin k
d - межплоскостное расстояние,
- длина волны характеристического рентгеновского
излучения,
k - порядок максимума: k = ±1, ±2…

59. Рентгенограмма меди

60. 2.7. Дисперсия света. Спектры поглощения

Дисперсия волн - явление зависимости частоты
волны от модуля её волнового вектора:
f (k )
Дисперсия света – явление зависимости показателя
преломления вещества от частоты света (или
длины волны).
n f ( )
n f ( )
Явление дисперсии света легко наблюдать при
пропускании света через призму.

61.

Призматический спектр:
1. Является сплошным (переход цветов от красного к
фиолетовому происходит непрерывно - радужная
окраска);
2. Фиолетовые лучи преломляются сильнее
(красные лучи меньше отклоняются призмой, чем
фиолетовые).

62.

Нормальная дисперсия - явление, при котором
показатель
преломления
уменьшается
с
увеличением длины волны.
n
nф
nкр
ф
кр
Количественной оценкой дисперсии является величина
dn
D
d

63.

В области нормальной дисперсии D < 0.
Нормальная дисперсия наблюдается для видимых
лучей во всех прозрачных бесцветных диэлектриках:
кварце, стекле, воде.
Первое объяснение дисперсии основано на
электромагнитной природе света и описывает
область нормальной дисперсии формулой Коши:
B C
n A 2 4
где А,В,С – константы вещества.
,

64.

Аномальная дисперсия: показатель преломления
увеличивается при увеличении длины волны.
n
D 0
В области аномальной дисперсии свет веществом
сильно поглощается.

65.

Дисперсией обладают все среды, кроме вакуума.
В вакууме скорость распространения световых волн
любой длины волны одинакова и равна с = 3 108 м/с.
Электронная теория дисперсии
- основана на электромагнитной природе света и
явлении резонанса.
Падающая на вещество световая волна частоты
вызывает вынужденные колебания валентных (слабо
связанных с ядром) электронов, имеющих
собственную частоту колебаний 0 .

66.

Когда >> 0 или << 0, амплитуда вынужденных
колебаний электронов мала (нормальная дисперсия).
При совпадении частоты ( = 0), наступает резонанс.
Амплитуда колебаний электронов резко возрастает
(аномальная дисперсия), что сопровождается
сильным поглощением света.

67.

Абсолютный показатель преломления среды n зависит
от диэлектрических и магнитных свойств среды
Поскольку практически для всех сред (кроме
ферромагнетиков) =1, то
n
n
2
n 1
2
Диэлектрическая восприимчивость
частоты света.
зависит от

68.

Зависимость показателя преломления от частоты света
описывается формулой:
n
2
N e
1
n 1 2
2
O i 1 m O
2
Суммирование ведётся по количеству валентных
электронов в атоме вещества - n.
N – число атомов в единице объёма вещества.

69.

График зависимости показателя преломления от
частоты света n ( )
n2
B
A
1
D
O
C
AB,CD - ветви нормальной дисперсии;
ВС – аномальная дисперсия.

70. 2.8. Поглощение света. Спектры поглощения

Поглощением света
называется явление
уменьшения энергии
световой волны,
проходящей через
вещество.
Пусть свет
интенсивностью IO
падает на вещество
толщины L.
Закон поглощения света
I IOe
kL
Закон Бугера:
интенсивность света
уменьшается по
экспоненциальному
закону.

71.

Прохождение света
через вещество
График закона Бугера
I
IO
I
IO
L
L

72.

Коэффициент поглощения (k):
- обратно пропорционален той толщине вещества,
которая уменьшает интенсивность света в «е»
раз. (е1 = 2,7)
- чем больше k, тем сильнее свет поглощается
веществом;
- зависит от длины волны света (спектры поглощения).
Спектры поглощения могут быть:
- линейчатыми;
- полосатыми;
- практически сплошными (в таких спектрах
наблюдаются узкие полосы пропускания).

73.

Линейчатый спектр поглощения
k
Линейчатые спектры поглощения дают газы в
атомарном состоянии.
Полосатые спектры поглощения дают молекулярные
газы и жидкости.

74.

Твёрдые тела (прозрачные диэлектрики) дают широкие
полосы поглощения (почти сплошной спектр), но у
них наблюдаются узкие области длин волн,
проходящих сквозь вещество – полоса пропускания.
k
Это явление используется для изготовления
светофильтров.
Светофильтр в зависимости от его химического
состава пропускает свет определённых длин волн,
поглощая остальные.

75.

Коэффициент поглощения для металлов имеет
большие значения (примерно 103-104 см-1).
Коэффициент поглощения для диэлектриков невелик
(примерно 10-3-10-5 см-1).
Одноатомные газы и пары металлов (т.е. вещества, в
которых атомы расположены на значительных
расстояниях друг от друга и их можно считать
изолированными) обладают близким к нулю
коэффициентом поглощения.