1. Матрицы 1.1. Определение матрицы
1.2. Квадратные матрицы
1.4. Транспонирование матриц
2. Операции над матрицами 2.1. Матричное сложение
2.2. Умножение матрицы на число
2.3. Матричное произведение
3. Определители
3.1. Нахождение определителей 1х1
3.2. Нахождение определителей 2х2
3.3. Нахождение определителей 3х3
3.4. Миноры и алгебраические дополнения
3.7. Обратная матрица
Метод нахождения обратной матрицы
916.50K
Category: mathematicsmathematics

Матрицы и определители

1. 1. Матрицы 1.1. Определение матрицы

A=
a1 1
a 21
a31
...
am 1
a1 2
a 22
a32
...
am 2
a1 3 ... a1n
a 2 3 ... a 2 n
a 3 3 ... a 3 n
... ... ...
am 3 ... amn
m, n – порядки матрицы

2. 1.2. Квадратные матрицы

a11
a 21
A a 31
...
an1
a12
a 22
a 32
...
an 2
a13
a 23
a 33
...
an 3
...
...
...
...
...
a1 n
a2n
a3n
...
ann

3. 1.4. Транспонирование матриц

a1 1 a 2 1 a 3 1
a1 2 a 2 2 a 3 2
T
A a1 3 a 2 3 a 3 3
... ... ...
a1 m a 2 m a 3 m
... an1
... an 2
... an 3
... ...
... an m

4.

Пример транспонирования
1 5 3
1 0 6 3
0
0
10
AT 5 0 7 2
A
6
7
8
3 10 8 7
3 2 7

5. 2. Операции над матрицами 2.1. Матричное сложение

A B C
сij aij bij
2 0 3 2
1 2 2 0 1 2
1 3 9 2
3 1 6 3 3 6
4 2 2 4 4 ( 2) 2 4 2 2

6. 2.2. Умножение матрицы на число

k A B
bij k aij
1 2 3 1 3 2 3 6
3 3 1 3 3 3 ( 1) 9 3
4 2 3 4 3 ( 2) 12 6

7. 2.3. Матричное произведение

A B C
ñij aik bkj
k
1 2 2 ( 1) 4 0
1 4 2 0
1 2
4 2
12
7
3
4
(
1
)
0
3
2
(
1
)
(
1
)
3
1
0 1
4 4 ( 2) 0 4 2 ( 2) ( 1) 16 10
4 2
Матрицы должны быть сопряженными!

8. 3. Определители

Определитель – это число, дающее
качественную характеристику
матрицы.
a1 1 a1 2 a1 3
a 21 a 22 a 23
det A a 3 1 a 3 2 a 3 3
... ... ...
am1 am 2 am 3
...
...
...
...
...
a1 n
a2n
a3n
...
amn

9. 3.1. Нахождение определителей 1х1

det A a11 a11
det( 5) 5 5

10. 3.2. Нахождение определителей 2х2

det A
1
2
3
4
a11 a12
a 21 a 22
a11 a22 a12 a21
1 4 2 3 2

11. 3.3. Нахождение определителей 3х3

a1 1 a1 2 a1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3 a11 a 22 a33
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
a21 a32 a13
a31 a12 a 23
a13 a22 a31
a23 a32 a11
a33 a12 a21

12. 3.4. Миноры и алгебраические дополнения

a1 1 ...
... ...
Mij ai1 ...
... ...
am1 ...
a1 j ... a1n
... ... ...
aij ... ain
... ... ...
amj ... amn
Aij ( 1)
i j
Mij

13.

1 2 3
A 4 0 5
2 4 6
M 32
1 3
4 5
A32 ( 1)
1 5 3 4 5 12 7
3 2
M 32 ( 1) ( 7) 7

14.

1 2 3
det 4 0 5 a12 A12 a 22 A22 a32 A32
2 4 6
2 ( 14) 0 4 7 0
A32 7
M 12
4 5
2 6
4 6 5 2 24 10 14
1 2
A12 ( 1)
M 12 ( 1) 14 14

15. 3.7. Обратная матрица

Обратной матрицей для данной квадратной
матрицы A называется такая матрица A-1,
произведение матрицы A на которую справа и слева
является единичной матрицей:

16. Метод нахождения обратной матрицы

Теорема. Для любой невырожденной квадратной
матрицы
существует обратная, и только одна,
определяемая по формуле:
A1 1 A2 1
A1 2 A2 2
1
1
A
A1 3 A2 3
det A
... ...
A1n A2 n
A3 1
A3 2
A3 3
...
A3 n
... An1
... An 2
... An 3
... ...
... An n
English     Русский Rules