Последовательное соединение R, L, C элементов

1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ R, L, C ЭЛЕМЕНТОВ

i
R
L
u
C
j
Пусть u U m sin( t ) Перейдем к комплексным амплитудам u U m U m e
Тогда, учитывая выражения для комплексных сопротивлений нашу цепь можно перерисовать в виде

2.

Im
j L
R
1
j C
Um
1
I m U m
Уравнения по 2 закону Кирхгофа имеет вид RI m j LI m
j C
j
1
*
j C
Сделаем следующие преобразования
j j C
1
[ R j ( L
)]I m U m
C
полное комплексное сопротивление последовательного соединения R,
1
L, C элементов.
z z e j
z R j ( L
I U m
комплексная амплитуда тока m
z
z R 2 ( L
1 2
)
C
C
)

3.

Тогда выражение для комплексной амплитуды тока имеет вид
1
L
C
arctg
R
U
I m e j ( )
m
z
Um
Im
z
I

4.

Условия резонанса напряжений
В последовательном R, L, C контуре наблюдается явление резонанса напряжений.
Явление, при котором в цепи синусоидального тока напряжение на входе цепи и ток совпадают по
фазе, называется явлением резонанса.
1
0 L
0C
1. ХL=XC или
напряжения на индуктивном и
емкостном элементах равны
2.U L U C
3. I I MAX
4. φ=0
0
f РЕЗ
т.е индуктивное и емкостное
сопротивления д.б. равны
ток в цепи максимальный
сдвиг фаз между напряжением и током
равен нулю.
1
угловая частота
LC
1
2 LC
0 L
R
резонансная частота
L
C Q
R
добротность
резонансного контура

5.

1
L
C
U L UC

6.

1
L
C
U L U C

7.

1
L
C
U L UC

8.

изменение тока в цепи
0
U m
Im
1
R j ( L
)
C
0
РЕЗ
I I MAX
Im
U m
1
R j (
L
)
C
0

9.

изменение напряжения резистора
U R RI m

10.

изменение напряжения индуктивной
катушки
0
РЕЗ
U L j LI m 0
U L UC
1
RI m j LI m
I m U m
j
C
0
0

11.

изменение напряжения конденсатора
0
1
UC
Im
j C
1
RI m j LI m
I m U m
j C
0
0
РЕЗ
U L UC
1
UC
Im 0
j C

12.

Резонансные кривые
I
U
U
U
C
L
U=E
I
U
0
РЕЗ
R
Резонанс напряжений, как правило, нежелателен в электроэнергетике,
т.к. напряжения установок могут в несколько раз превышать их рабочие
напряжения, но широко применяется в радиотехнических устройствах,
автоматике, телемеханике, связи, измерительной технике для настройки
цепей на заданную частоту.

13. Параллельное соединение R, L, C элементов

14.

I I I I U 1 j 1 C
m
mR
mL
mC
m
L
R
1
g
R
1
b
C
L
Y g jb
активная проводимость
параллельного соединения
реактивная проводимость
параллельного соединения
полная комплексная
проводимость
параллельного соединения

15.

I m YU m
Y Ye
j
Y g b
2
b
arctg
g
2

16. Условия резонанса токов

1. bC=bL или 0C
2.
.
3
1
0L
т.е индуктивная и емкостная проводимости
д.б. равны
IL IC
токи в индуктивном и емкостном элементах д.б. равны.
I I MIN
4. φ=0
общий ток в цепи минимальный.
сдвиг фаз между напряжением и током равен нулю.

17.

bL bC
I L IC

18.

bL bC
I L IC

19.

bL bC
I L IC
Вектор тока в общей ветви является геометрической суммой векторов трех токов, два из которых IL и
IC находятся в противофазе. Поэтому при резонансе возможны случаи, когда токи в индуктивной
катушке и в конденсаторе могут превосходить суммарный ток в цепи.
В емкостном элементе ток возрастает пропорционально угловой частоте, в индуктивном элементе
ток обратно пропорционален угловой частоте, в резистивном элементе ток от угловой частоты не
зависит.
Добротность Q при резонансе токов определяет кратность превышения тока в индуктивном
(емкостном) элементе над суммарным током в резонансе.
Повышения напряжения на участках цепи при резонансе токов не происходит, поэтому в отличие от
резонанса напряжений не возникает опасности для электротехнического оборудования.

20.

Резонансные кривые
IL
I
IC
I
0
РЕЗ
IR