Предел последовательности. Лекция 3

1. Здравствуйте!

Лекция №3

2. Предел последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Число
a ℝ
называется
последовательности { xn } если
>0 N ℕ такое что, n>N | xn – a | <
Записывают:
lim xn a,
n
пределом
xn a
Говорят: последовательность { xn } сходится (стремиться) к a.
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся
(сходящейся к a)
Последовательность, не имеющую предела, называют
расходящейся.

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности

Пусть r ℝ,
M(r) Ox
M
O
x
M(r) – геометрическая интерпретация числа r ℝ .
Пусть x0 ℝ, >0.
x0
x0
x0
x
Интервал (x0 – ; x0 + ) называют -окрестностью точки x0.
(геометрическое определение -окрестности точки)
Будем обозначать: U(x0, )
Имеем:
U(x0, ) = {x ℝ | |x – x0| < }
(алгебраическое определение -окрестности точки)

4.

Из
определения предела последовательности получаем:
если {xn} a , то с геометрической точки зрения это
означает, что в любой -окрестности точки a находятся все
члены последовательности {xn}, за исключением может
быть конечного их числа. (Геометрическая интерпретация
предела последовательности).
a – точка «сгущения» последовательности { xn }.

5.

Определение. Говорят, что при
xn
n
последовательность
сходится к пределу, равному (запись: lim xn или
n
) если
xn
n
A 0 N n N xn A .
Определение. Говорят, что при
xn
n
последовательность
сходится к пределу, равному (запись: lim xn или
n
xn
) если
n
A 0 N n N xn A

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность, сходящуюся к нулю, называют бесконечно малой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность
называется бесконечно большой, если
M>0 N ℕ такое, что | xn | >M , n>N.
{xn}

7.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Расширим множество ℝ .
I способ. Дополним множество ℝ элементами,
обозначаемыми
+
и – (называют: «плюс
бесконечность» и «минус бесконечность»)
При этом справедливо: – < r < + , r ℝ .
II способ. Дополним множество ℝ элементом,
обозначаемыми (называют: «бесконечность»)
При этом не связана с действительными числами
отношением порядка.

8.

Множество ℝ∪{– , + } и ℝ∪{ } называют расширенным
множеством действительных чисел (способ расширения
всегда понятен из контекста).
Обозначают: ℝ̄ .
Элементы – , + , называют бесконечно удаленными
точками числовой прямой.
-окрестностью точек – , + , считают следующие множества:
U(+ , ) = { x ℝ | x > 1/ }
x
1
0
U(– , ) = { x ℝ | x < –1/ }
0
1
U( , ) = { x ℝ | | x | > 1/ }
1
0
1
x
x

9.

Если {xn} – бесконечно большая, то с геометрической точки
зрения это означает, что в любой -окрестности точки
находятся все члены последовательности, за исключением
может быть конечного их числа.
(Геометрическая интерпретация бесконечно большой
последовательности).
Записывают: lim xn ,
n
xn
Говорят: «последовательность { xn } стремиться к ».
Частные случаи бесконечно больших последовательностей:
1) {xn} – бесконечно большая и xn 0 , n .
Тогда | xn | = xn >M , n>N
⇒ все члены последовательности, за исключением может
быть конечного их числа, находятся в любой -окрестности
точки + .
Записывают: lim xn , xn
n
Говорят: «последовательность { xn } стремиться к + ».

10.

2) { xn } – бесконечно большая и xn 0 , n .
Записывают: lim xn , xn
n
Говорят: «последовательность { xn } стремиться к – ».
СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО
БОЛЬШИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой, разностью, произведением, частным
двух последовательностей
{xn}
и {yn}
называются
соответственно последовательности
{ xn+ yn }, { xn– yn}, { xn yn }, xn ( y 0) .
n
yn
Последовательность {cxn} называется произведением {xn} на
число c (произведение последовательностей {xn} и {c})

11.

Бесконечно малые последовательности
Определение
1.
Последовательность
xn
называется
бесконечно-малой последовательностью (б.м.п.), если lim xn 0 ,
n
то есть, если
0 N n N xn .
Определение 2. Последовательность xn называется
бесконечно-большой
последовательностью
(б.б.п.),
если
lim xn (это записывается еще и так: lim xn , не
n
n
выписывая знака перед ), то есть если
A 0 N n N xn A .

12.

Свойства бесконечно малых последовательностей
1.
Сумма
и
разность
последовательностей
есть
также
последовательность.
Доказательство.
бесконечно-малых
бесконечно-малая
xn
б.м.п. 0 N1 n N1 xn .
yn
б.м.п. 0 N2 n N2 yn .
2
2
Возьмем N max N1 , N 2 . Тогда
n N xn yn xn yn
2
2
,
откуда следует, что xn yn есть б.м.п.
Следствие. Сумма любого конечного числа б.м.п. есть также
б.м.п

13.

2.
Произведение
б.м.п
на
последовательность есть б.м.п.
Доказательство
yn ограничена A 0 n yn A
xn б.м.п. 0 N n N xn
Но тогда n N xn yn xn yn
что xn yn есть б.м.п.
A
ограниченную
A
A , отсюда и следует,

14.

3. Б.м.п. ограничена
Доказательство
Пусть xn б.м.п. Тогда 0 N n N xn .
Возьмем A max x1 , x2 ,
xN , . Тогда n xn A
то есть xn ограничена
Следствие. Произведение б.м.п. есть также б.м.п.

15.

4. Пусть
xn
1
б.м.п. и n xn 0 . Тогда есть
xn
б.б.п.
Доказательство
xn б.м.п 0 N n N xn .
Возьмем любое A 0 и положим
Тогда N n N x n
есть б.б.п.
1
.
A
1
1
1
,
отсюда
следует,
что
A
A
xn
xn

16.

5. Пусть xn
xn
1
б.б.п., тогда есть б.м.п.
xn
б.б.п. A 0 N n N xn A .
Возьмем любое 0 и положим A
1
1
1
Тогда N n N xn
, отсюда следует, что
xn
есть б.м.п.
1
xn

17.

Сходящиеся последовательности
Определение.
Последовательность
xn
называется
сходящейся, если у нее существует конечный предел (то есть
существует lim xn a и a ).
n

18.

1. Для того, чтобы последовательность xn была
сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было
представить в виде xn a n , где a , а n б.м.п.
Доказательство.
Необходимость. Пусть lim xn a . Это значит, что
n
0 N n N xn a .
xn a n
xn a n
Обозначим
.
Тогда
0 N n N n . то есть n б.м.п.
Достаточность. Пусть xn a n , где а n б.м.п., то
есть 0 N n N n . Но так как n xn a , то
0 N n N xn a , то есть lim xn a
n
и

19.

2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство.
Пусть xn a n , где n б.м.п. В силу этого n ограничена,
то есть A n n A . Но тогда n xn a n a A , то
есть xn ограничена.

20.

3. Если xn и yn сходящиеся последовательности, то
xn yn тоже сходящаяся
lim xn yn lim xn lim yn
n
n
n
последовательность
и
Доказательство.
xn сходящаяся
yn
xn a n , где n б.м.п.
сходящаяся yn b n , где n б.м.п.
Но тогда xn yn a b n n .
По свойствам б.м.п., n n есть б.м.п. и поэтому xn yn
есть
сходящаяся
последовательность
и
lim xn yn a b lim xn lim yn
n
n
n

21.

4.
Если
xn
сходящаяся последовательность,
то
c xn тоже сходится и
lim c xn c lim xn .
n
n
Доказательство
xn сходится xn a n , где n б.м.п.
Но тогда c xn c a c n и, по свойства б.м.п., {c n } есть
тоже
б.м.п.
Поэтому
lim c xn c a c lim xn
n
n
c xn
сходится
и

22.

5. Если xn и yn сходящиеся последовательности, то
тоже
сходящаяся
xn yn
lim xn yn lim xn lim yn .
n
n
n
последовательность
Доказательство
xn сходится xn a n , где n б.м.п.
yn
сходится yn b n , где n б.м.п.
Но тогда xn yn a n b n ab b n a n n n .
По свойствам б.м.п., b n , a n , n n есть б.м.п. Их сумма
есть также б.м.п. Поэтому, xn yn есть сходящаяся
последовательность и
lim xn yn a b lim xn lim yn
n
n
n
и

23.

6. Если lim yn b 0 , то, начиная с некоторого n N ,
n
1
последовательность y ограничена.
n
Доказательство
yn сходится 0 N n N yn b .
Так как b 0 то возьмем
b
2
. Тогда N n N yn b
Но тогда n N мы имеем
| b | | (b yn ) yn | | b yn | | yn |
|b|
| yn | .
2
Сравнивая начало и конец, получим, что
|b| |b|
1
2
n N | yn | | b |
и
,
2
2
yn b
то есть. при n N
1
последовательность y ограничена
n
b
2
.

24.

7. Пусть
xn
и
yn
сходящиеся последовательности,
xn
причем lim yn 0 . Тогда есть также сходящаяся
n
yn
xn
xn lim
n
последовательность и lim
.
n y
yn
n lim
n
Доказательство
xn сходится xn a n , где n б.м.п.
yn сходится yn b n , где n б.м.п.
Тогда
xn a a n a b n a n
1
a
n n
yn b b n b b n b y n
b

25.

a
Вспомним, что b lim yn 0 . Тогда n есть б.м.п.,
b
n
1
a
есть
б.м.п.,
и
т.к.
n
ограниченна, то
n
b
yn
1
yn
a
n n есть тоже б.м.п.
b
xn a
Итак,
б.м.п. и поэтому
yn b
xn
lim
n y
n
xn
a lim
n
yn
b lim
n