Вимушені коливання. Резонанс (Лекція 4)

1.

Лекція 4
Вимушені коливання.
Резонанс

2.

Диференціальне рівняння вимушених коливань
Fзов (t ) Fmax cos t
ma Fпр Fтер Fзов
U зов (t ) U max cos t
U C U R i U зов (t )
d 2x
m 2 kx rv Fmax cos t
dt
q
dI
IR L U max cos t
C
dt
d 2q
dq q
L 2 R U max cos t
dt
dt C
x 2 x 0 2 x f m cos t ,
q 2 q 0 2 q um cos t ,
F
r
k
де
, 0 2 , f m max
2m
m
m
де
U
R
1
, 0 2
, um max
2L
LC
L

3.

Розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань
Оскільки рівняння неоднорідне, його розв’язок являє собою лінійну комбінацію загального
розв’язку однорідного рівняння (це розв’язок рівняння вільних згасаючих коливань) та частинного
розв’язку неоднорідного рівняння: x(t ) xзаг .од. (t ) xчаст.неод. (t ) .
У випадку усталених коливань (коли час дії зовнішньої періодичної сили значно довший за час
релаксації) доданком вільних згасаючіх коливань можна знехтувати і розглядати лише частинний
розв’язок неоднорідного рівняння, який буде мати вигляд:
x(t )
-
fm
02 2 4 2 2
2
cos( t arctg
2
)
0 2 2
При цьому:
усталені вимушені коливання завжди мають частоту зовнішньої періодичної сили;
амплітуда цих коливань прямо пропорційна амплітуді зовнішньої періодичної сили;
коливання відбуваються з запізненням по відношенню до коливань зовнішньої сили (тобто мають
зсув фаз), причому поки ω < ω0 , це запізнення менше π/2, коли ω = ω0 , запізнення дорівнює
значенню π/2, та для ω > ω0 , запізнення більше π/2.

4.

Розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань
Часова залежність заряду для усталених коливань описується виразом:
q(t ) Qmax ( )cos( t ),
де залежність амплітуди від частоти зовнішньої ЕРС має вигляд
U max
Qmax ( )
L
0
2
2 2
4
2
,
2
а зсув фаз між коливаннями заряду та зовнішньої ЕРС описується виразом
arctg
2
.
2
2
0

5.

Резонанс
Як видно, амплітуда усталених вимушених коливань
залежить від частоти зовнішньої періодичної сили (або
зовнішньої ЕРС у випадку електромагнітних коливань):
з цього виразу також видно, що функція залежності амплітуди від частоти має максимум при
значенні частоти, коли знаменник буде мати найменше значення.
Продиференціювавши підкореневий вираз та прирівнявши його до нуля,
2
d
0 2 2 4 2 2 2 0 2 2 2 8 2 4 2 2 02 2 0,
d
бачимо, що максимум амплітуди припадає на частоту:
рез 02 2 2 .
або 2 2 02 2 0

6.

Резонансом називається явище стрімкого зростання амплітуди вимушених коливань при
зміні частоти коливань та наближенні частоти зовнішньої сили до власної частоти контуру.
Резонансні криві для різних значень опорів, побудовані для амплітуди
заряду, представлені на рисунку. Аналогічний вигляд мають резонансні
криві амплітуди напруги на конденсаторі.
2 1
Зверніть увагу, що в цьому випадку резонансна частота не співпадає ні з
власною частотою контуру, ні з частотою згасаючих коливань.
На резонансній частоті амплітудне значення заряду має вигляд:
Qmax ( рез )
U max
2 L з
В нулі та на нескінченності амплітуда заряду дорівнює CUmax та 0 відповідно.
Амплітуда напруги відрізняється від амплітуди заряду в С разів, і за умови слабкого згасання
можна одержати:
U max ( рез )
U max
2 LC 0
,
що дає змогу з резонансної кривої обчислити добротність контуру:
Q
1 L U max ( рез )
R C
U max
.

7.

Тепер проаналізуємо зміну амплітуди струму:
U max
I max Qmax
L
2
0
2 2
4 2 2
Поділимо чисельник та знаменник на частоту, після чого знову продиференціюємо
підкореневий вираз:
2 2 2
d 0
d
2
4 2
2
2
2
4 3
4
2
4
2
2 0.
0
0
0
2
d
d
Якщо поділити ліву і праву частину на 2ω, це призводить до рівності:
На резонансній частоті амплітуда сили струму становить:
I max ( рез )
U max U max
.
2 L
R
В нулі та на нескінченності амплітуда струму обертається в нуль.
рез 0
.

8.

Досліджуючи залежність від частоти амплітуди сили струму, можна показати
інший спосіб обчислення добротності контура. Згадаємо, що добротність можна
з
0 (тут застосовано наближення слабкого згасання).
виразити як Q
Tз
2
2
На графіку слід вибрати інтервал частот для значення амплітуди струму
1
I max ( рез )
2
, це відповідає припустимій зміні сигналу на 3 дБ або на 30% і становить
0,7 від резонансного значення амплітуди.
I max ( )
Співставивши
U max
I max ( )
L
2
0
2 2
4
2
2
та
I max ( рез )
U max
2 L
, одержимо:
02 2 4 2 2 2 2
2
Піднісши до квадрату обидві частини та ввівши після спрощення рівності
0
, 0 2 0 , 0 ,
2
одержимо наближено, що 2 , яке при підстановці у вираз
0
добротності призводить до
Q
.