Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

1.

Решение дифференциальных
уравнений с разделяющимися
переменными

2.

Дифференциальным
уравнением
(ДУ)
называется
уравнение,
содержащее
производные от искомой функции или её
дифференциалы.
F x, y, y , y ,..., y n 0
или
dy d 2 y
dny
F x, y, , 2 ,..., n 0
dx dx
dx

3.

Примеры ДУ:
6 y xy 0
y 2 xy 0
y 4 x
y
y xe
x dy 2 y dx
x dy y ln x dx

4.

Наивысший порядок производной,
уравнение, называется порядком ДУ.
входящей
в
Решением ДУ называется такая функция, подстановка
которой в уравнение обращает его в тождество
(верное равенство).
- решение ДУ

5.

Пример: Показать, что данная функция
y C1 sin x C2 cos x, C1 , C2 R
является решением ДУ d 2 y
dx
2
y 0
y C1 cos x C2 sin x
y C1 sin x C2 cos x
C1 sin x C2 cos x C1 sin x C2 cos x 0
Т.о. функции вида y C1 sin x C2 cos x являются
решениями данного ДУ при любом выборе постоянных С1 и С2:
C1 1 u C2 0 : y sin x
C1 0 u C2 2 : y 2 cos x
C1 3 u C2 1: y 3sin x cos x

6.

Дифференциальные уравнения
I порядка

7.

• ДУ I порядка имеет вид F x, y, y 0
или
dy f ( x, y ) dx
y f ( x, y )
• Общим решением ДУ I порядка называется
функция y ( x, C ) , которая зависит от
одного произвольного постоянного С.
или
( x, y , C ) 0
(неявный вид)

8.

• Частным решением ДУ I порядка
называется любая функция y ( x,C 0 )
полученная из общего решения y ( x, C )
при конкретном значении постоянной С=С0.
или
( x, y, C0 ) 0
(неявный вид)

9.

Пример:
ДУ:
y 3x 2
3
x
y 3x 2 dx 3 C x 3 C
3
y x C -общее решение
C 2 : y x3 2
C 1 : y x 3 1
C 0: y x
3
частные решения
3
y x C 3x 2
3
3
3
y x 2 3x 2
y x 1 3x 2
y x
3
3x 2

10.

Геометрически:
• Общее решение ДУ y ( x, C ) есть семейство
интегральных кривых на плоскости Оху;
• Частное решение ДУ y ( x,C 0 ) -одна кривая
этого семейства, проходящая через точку ( x0 , y 0 )
y 3x 2
у
y x 3 C -общее решение
y x 1 -частное решение
3
(х0, у0)
х

11.

• Условие при х=х0, такое что функция у равна
заданному числу у0 называется начальным
условием.
y ( x0 ) y 0
или
y
x x0
y0
• Задача отыскания конкретного частного
решения данного ДУ по начальным данным
называется задачей Коши (Cauchy).

12.

2
y (0)
3
Решить задачу Коши: y e ,
1 3 x
3 x
y е dx e C
1 кx
кx
3
е dx e C
к
1 3 x
y e C -общее решение
3
2
3 x
Пример:
Подставим в общее решение начальные условия: y (0)
2
1 3 0
e C
3
3
у 2
0;
3
3
х
2
1
C
3
3
2 1
C 1
3 3
1 3 x
y e 1 -частное решение
3

13.

1. ДУ I порядка с разделёнными
переменными
• Если каждая часть ДУ представляет собой
произведение некоторого выражения, зависящего
от одной переменной, на дифференциал этой
переменной, то говорят, что переменные в этом
уравнении разделены.
M ( x) dx N ( y ) dy 0
В
этом
случае
проинтегрировать:
уравнение
достаточно
M ( x) dx N ( y) dy C

14.

Пример:
Решить ДУ x dx y dy 0
общее решение:
y 2 x2 C
или
y 2 x2 C
y dy x dx
у
y dy x dx
y2
x2
C
2
2
y 2 x 2 2C
С
С
2
0
х
Геометрически:
получили
семейство
концентрических окружностей с центром в
начале координат и радиусом С.

15.

2. ДУ I порядка с разделяющимися
переменными
• Уравнения, в которых переменные разделяются,
называются ДУ с разделяющимися переменными.
M1 ( x) N1 ( y) dx M 2 ( x) N 2 ( y) dy 0
где
M1 ( x), M 2 ( x), N1 ( y), N 2 ( y)
некоторые функции.

16.

Пример:
Найти общее и частное решение ДУ
x dy y dx, y (5) 10
x dy y dx 1
xy
dy dx
y
x
dy
dx
y x
ln y ln x C
ln y ln x ln C
ln y ln xC
y Cx
y Cx
⇒
y Cx

17.

Итак, общее решение ДУ:
y Cx
2) Найдём частное решение ДУ, если y (5) 10
Подставим эти начальные условия в общее
решение ДУ и найдем С:
10 5 C
C 2
⇒
y 2 x - частное решение ДУ.
Ответ: общее решение y Cx
частное решение y 2 x

18.

Геометрически:
у = 2х
у
(5;10)
х
общее решение y Cx
частное решение y 2 x

19.

Пример: Решить задачу Коши
y(3) 0
2
ydy
2
x
dx
y2
x3
2 C
2
3
2
4 3
y x C 2
3
4 3
2
y x C
3
2
4 3
y x C
3
ydy 2 x dx
2
4 3
0 3 C
3
0 36 C
С 36
4 3
y x 36
3

20.

Найти общее решение ДУ 3xdy ( y 1)dx
Пример:
3xdy ( y 1)dx 3x( y1 1)
dy
dx
y 1 3x
dy
dx
y 1 3x
1
3
y 1 x C
1
ln( y 1) ln x C
3
1
3
ln( y 1) ln x ln C
13
ln( y 1) ln x C
1
3
y x C 1
y 3 x C 1