Показательная функция, её свойства и график

1. Тема: «Показательная функция, её свойства и график»

2. График функции

f ( x) a
График функции
у
1
0
x
x

3. Определение

Функция вида
y a
x
, a 0, a 1
называется показательной с основанием а.
Замечание.
Вместе с функцией y=ax показательной считают и
функцию вида y=Cax, где С- некоторая постоянная.

4. Задание

Из предложенного списка функций, выбрать ту функцию,
которая является показательной:
1. y 2 x;
2. y x 2 ;
3. y 2 xx;
4. y 7 x .

5. График показательной функции

1
y
2
x
x
1
1
y y
3
4
x
y a , a 0, a 1
x
0 a 1
a 1
y 4 x y 3x
y 2x

6. Задание

Укажите вид графика для функции
1. y x
2. y 0, 48 x
y
y
y a x , a 0, a 1
1
1
x
x
А
В

7. Задание

Из предложенных функций выберите ту,
график которой изображён на рисунке.
x
1
1. y ;
2
y
x
1
2. y ;
3
3. y 2 x ;
y ax
4. y 2 x.
1
x

8. Свойства функции

Проанализируем по схеме:
1) область определения функции;
2) множество значений функции;
3) нули функции;
4) промежутки знакопостоянства функции;
5) четность или нечётность функции;
6) монотонность функции;
7) наибольшее и наименьшее значения;
8) периодичность функции;
9) ограниченность функции.

9.

1) Область определения –
y
0 a 1
1
о
множество всех
действительных чисел (D(у)=R).
y a x , a 0, a 1 2) Множество значений – множество
всех
a 1
положительных чисел (E(y)=R+).
3) Нулей нет.
4) у>0 при х R.
5) Функция ни чётная, ни нечётная.
6) Функция монотонна: возрастает
на R при а>1
и убывает на R при 0<a<1.
7) Наибольшего и наименьшего
x
значений у функции нет.
8) Функция непериодична.
9) Ограничена снизу, не ограничена
сверху.

10. Задание

Выберите функцию возрастающую на R
x
1
1. y
4
1
2. y
7
x
1
3. y
2
x
4. y 10 x

11. Задание

Выберите функцию убывающую на R:
1. y 5 x ;
2. y 10 x 1;
x
1
3. y ;
2
x
1
4. y 1.
2

12. Задание

x
1
Укажите область значений функции y 1:
3
1
y
3
1. 0; ;
x
2. 1; ;
3. 0; ;
4. ; 1 .
1
y 1
3
x

13.

Применение
показательной функции

14. Рост древесины происходит по закону , где: A- изменение количества древесины во времени; A0- начальное количество древесины;

k t
Рост древесины происходит по закону A A0a , где:
A- изменение количества древесины во времени;
A0- начальное количество древесины;
t-время, к, а- некоторые постоянные.
А
An
A3
A2
A1
A0
0
t0 t1 t2 t3
tn t

15. Давление воздуха убывает с высотой по закону: , где: Р- давление на высоте h, Р0 - давление на уровне моря, h - высота, а, к-

Давление воздуха убывает с высотой по закону: P P0 a k h , где:
Р- давление на высоте h,
Р0 - давление на уровне моря,
h - высота,
а, к- некоторые постоянные.
P
P0
P1
P2
P3
Т=const
0
h0 h1 h2
h3
hn
h

16. Температура чайника изменяется по закону , где: Т- изменение температуры чайника со временем; Т0- температура кипения воды;

Температура чайника изменяется по закону Т Т 0a k t , где:
Т- изменение температуры чайника со временем;
Т0- температура кипения воды;
t-время,
к, а- некоторые постоянные.
T
T0
T1
T2
T3
0
t0 t1 t2
t3
tn
t

17.

t
1 T
Радиоактивный распад происходит по закону N N 0 ( )
2
, где:
N- число нераспавшихся атомов в любой момент времени t;
N0- начальное число атомов (в момент времени t=0);
t-время;
Т- период полураспада.
N
N0
N1
N2
N3
N4
0
t1
t2
t3
t4
t

18.

• Существенное свойство процессов органического
• изменения величин состоит в том, что
за равные промежутки времени значение величины изменяется
в одном и том же отношении
К процессам органического изменения величин относятся:
Рост древесины
A A0a k t
Изменение температуры чайника
Изменение давления воздуха
Радиоактивный распад
Т Т 0a
P P0 a k h
k t
y C a
k x
C 1, k 1
t
1
N N0 ( )T
2
y a
x

19.

Пример 1. Сравните числа 1,334 и 1,340.
Общий метод решения.
1. Представить числа в виде степени с одинаковым основанием (если это
необходимо)
1,334 и 1,340.
2. Выяснить, возрастающей или убывающей является показательная
функция
а=1,3; а>1, след-но показательная функция возрастает.
3. Сравнить показатели степеней (или аргументы функций)
34<40.
4. Используя свойство возрастания (убывания) функции, сравнить степени
с одинаковым основанием (или значения функций)
1,334 < 1,340.
5. Сравнить исходные числа.

20.

21.

Пример 2. Решите графически уравнение 3х=4-х.
Решение.
Используем функционально-графический
метод решения уравнений:
построим в одной системе координат
графики функций у=3х и у=4-х.
Замечаем, что они имеют одну общую
точку (1;3). Значит, уравнение имеет
единственный корень х=1.
Ответ: 1
у=4-х

22. Решите графически уравнения:

1) 2х=1;
2) (1/2)х=х+3;
3) 4х+1=6-х;
4) 31-х=2х-1;
5) 3-х=-3/х

23.

Пример 3. Решите графически неравенство 3х>4-х.
Решение.
Используем функционально-графический
метод решения неравенств:
у=4-х
1. Построим в одной системе
координат графики функций
у=3х и у=4-х.
2. Выделим часть графика
функции у=3х, расположенную
выше (т. к. знак >) графика
функции у=4-х.
3. Отметим на оси х ту часть,
которая соответствует
выделенной части графика
(иначе: спроецируем выделенную
часть графика на ось х).
4. Запишем ответ в виде интервала:
Ответ: (1; ).

24.

Решите графически неравенства:
1) 2х>1;
2) 2х<4 ;
3) (1/3)х<3;
4) (1/2)x x+3;
5) 5x 6-x