Pokazatelnye_funktsii

1. «Показательная функция, её свойства и график»

2. Показательная функция

Определение
График
Свойства
Применения

3. График функции

f ( x) a
у
1
0
x
x

4. Определение

Функция вида
y a
x
, a 0, a 1
называется показательной с основанием а.
Замечание.
Вместе с функцией y=ax показательной считают и
функцию вида y=Cax, где С- некоторая постоянная.

5. Задание A1

Из предложенного списка функций, выбрать ту функцию,
которая является показательной:
1. y 2 x;
2. y x 2 ;
3. y 2 xx;
4. y 7 x .

6. График показательной функции

1
y
2
x
x
График показательной
функции
1
1
y y
3
4
x
y a , a 0, a 1
x
0 a 1
a 1
y 4 x y 3x
y 2x

7. Задание A2

Укажите вид графика для функции
1. y x
2. y 0, 48 x
y
y
y a x , a 0, a 1
1
1
x
x
А
В

8. Задание A3

Из предложенных функций выберите ту,
график которой изображён на рисунке.
x
1
1. y ;
2
y
x
1
2. y ;
3
3. y 2 x ;
y ax
4. y 2 x.
1
x

9. Свойства функции

Проанализируем по схеме:
1. область определения функции
2. множество значений функции
3. нули функции
4. промежутки знакопостоянства функции
5. четность или нечётность функции
6. монотонность функции
7. наибольшее и наименьшее значения
8. периодичность функции
9. ограниченность функции

10. Показательная функция, её график и свойства

y a x , a 0, a 1 1) Область определения –
y
0 a 1
a 1
1
о
x
множество всех
действительных чисел (D(у)=R).
2) Множество значений –
множество всех
положительных чисел (E(y)=R+).
3) Нулей нет.
4) у>0 при х R.
5) Функция ни чётная, ни нечётная.
6) Функция монотонна: возрастает
на R при а>1
и убывает на R при 0<a<1.
7) Наибольшего и наименьшего
значений у функции нет.
8) Функция непериодична.
9) Ограничена снизу, не ограничена
сверху.

11. Задание A4

Выберите функцию возрастающую на
R:
1
1. y
4
x
1
2. y
7
x
1
3. y
2
x
4. y 10 x

12. Задание A5

Выберите функцию убывающую на R :
1. y 5 x ;
2. y 10 x 1;
x
1
3. y ;
2
x
1
4. y 1.
2

13. Задание В1

x
1
1:
3
Укажите область значений функцииy
1
y
3
1. 0; ;
x
2. 1; ;
3. 0; ;
4. ; 1 .
1
y 1
3
x

14. Задание В2

Какое из указанных чисел входит в область значений функции
y 2 x 4?
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 5.
Решение:
Для любого x R :
2 x 0;
2x 4 4;
y 4.
E y 4;
1
2
3
4
5
y
5 E y
Ответ: 5.

15.

Применения
показательной
функции

16. Рост древесины происходит по закону , где: A- изменение количества древесины во времени; A0- начальное количество древесины;

Рост древесины происходит по закону A A0a k t
A- изменение количества древесины во времени;
A0- начальное количество древесины;
t-время, к, а- некоторые постоянные.
, где:
А
An
A3
A2
A1
A0
0
t0 t1 t2 t3
tn t

17. Давление воздуха убывает с высотой по закону: , где: Р- давление на высоте h, Р0 - давление на уровне моря, h - высота, а, к-

Давление воздуха убывает с высотой по закону: P P0 a
Р- давление на высоте h,
Р0 - давление на уровне моря,
h - высота,
а, к- некоторые постоянные.
P
k h
, где:
P0
P1
P2
P3
Т=const
0
h0 h1 h2
h3
hn
h

18. Температура чайника изменяется по закону , где: Т- изменение температуры чайника со временем; Т0- температура кипения воды;

Температура чайника изменяется по закону Т Т 0a k t , где:
Т- изменение температуры чайника со временем;
Т0- температура кипения воды;
t-время,
к, а- некоторые постоянные.
T
T0
T1
T2
T3
0
t0 t1 t2
t3
tn
t

19.

t
1 T
Радиоактивный распад происходит по закону N N 0 ( ) , где:
2
N- число нераспавшихся атомов в любой момент времени t;
N0- начальное число атомов (в момент времени t=0);
t-время;
Т- период полураспада.
N
N0
N1
N2
N3
N4
0
t1
t2
t3
t4
t

20.

Существенное свойство процессов органического
изменения величин состоит в том, что
за равные промежутки времени значение величины изменяется
в одном и том же отношении
К процессам органического изменения величин относятся:
Рост древесины
A A0a k t
Изменение температуры чайника
Т Т 0a
Изменение давления воздуха
P P0 a k h
Радиоактивный распад
1
N N0 ( )T
2
k t
y C a
k x
C 1, k 1
t
y a
x

21.

Пример 1. Сравните числа 1,334 и 1,340.
Общий метод решения.
1. Представить числа в виде степени с одинаковым основанием (если это
необходимо)
1,334 и 1,340.
2. Выяснить, возрастающей или убывающей является показательная
функция
а=1,3; а>1, след-но показательная функция возрастает.
3. Сравнить показатели степеней (или аргументы функций)
34<40.
4. Используя свойство возрастания (убывания) функции, сравнить степени
с одинаковым основанием (или значения функций)
1,334 < 1,340.
5. Сравнить исходные числа.
à ) 0,65
Сравните:
16, 2
7
á )
9
4
â)
7
5
2
2
1
2
è (0,65) ;
9
è
7
è 1;
3
;
1
ã)
16
3
è 64 3.

22.

Пример 2. Решите графически уравнение 3х=4-х.
Решение.
Используем функционально-графический
метод решения уравнений:
построим в одной системе координат
графики функций у=3х и у=4-х.
Замечаем, что они имеют одну общую
точку (1;3). Значит, уравнение имеет
единственный корень х=1.
Ответ: 1
у=4-х

23. Решите графически уравнения:

1) 2х=1;
1) (0)
2) (1/2)х=х+3;
3) 4х+1=6-х;
4) 31-х=2х-1;
5) 3-х=-3/х;
6) 2х-1= х .
2) (-1)
3) (1)
4) (1)
5) (-1)
6) (1)

24.

Пример 3. Решите графически неравенство 3х>4-х.
Решение.
Используем функционально-графический
метод решения неравенств:
у=4-х
1. Построим в одной системе
координат графики функций
у=3х и у=4-х.
2. Выделим часть графика
функции у=3х, расположенную
выше (т. к. знак >) графика
функции у=4-х.
3. Отметим на оси х ту часть,
которая соответствует
выделенной части графика
(иначе: спроецируем выделенную
часть графика на ось х).
4. Запишем ответ в виде интервала:
Ответ: (1;
).

25.

Решите графически неравенства:
1) 2х>1;
2) 2х<4 ;
3) (1/3)х<3;
4) (1/2)x x+3;
5) 5x 6-x ;
6) (1/3)x x+1.

26. Подведём итог

П
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
н
а
я
Подведём итог По
ф
у
н
к
ц
и
я
ф
у
н
к
ц
и
я
Определение
График
Свойства
Применения
к
а
з
а
т
е
л
ь
н
а
я

27. Самостоятельная работа (тест)

1. Укажите показательную функцию:
1) у=х3; 2) у=х5/3; 3) у=3х+1; 4) у=3х+1.
1) у=х2; 2) у=х-1; 3) у=-4+2х; 4) у=0,32х.
2. Укажите функцию, возрастающую на всей области
определения:
1) у =(2/3)-х; 2) у=2-х; 3) у =(4/5)х; 4) у =0,9х.
1) у =(2/3)х; 2) у=7,5х; 3) у =(3/5)х; 4) у =0,1х.
3. Укажите функцию, убывающую на всей области определения:
1) у =(3/11)-х; 2) у=0,4х; 3) у =(10/7)х;
4) у =1,5х.
1) у =(2/17)-х; 2) у=5,4х; 3) у =0,7х;
4) у =3х.
4. Укажите множество
значений функции у=3-2х-8:
1) ; 8 ;2) 8; ;3) ; 8 ;4) 8;
4. Укажите множество
значений функции
у=2х+1+16:
1) ;16 ;2) 16; ;3) ;16 ;4) 16;
5. Укажите наименьшее из данных
чисел:
1) 3-1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3.
5. Укажите наибольшее из данных
чисел:
1) 5-1/2; 2) 25-1/2; 3) (1/5)-1/2; 4) 1-1/2.
6. Выясните графически, сколько корней имеет уравнение
2х=х-1/3
1) 1 корень; 2) 2 корня; 3) 3 корня; 4) 4 корня.
(1/3)х=х1/2
1) 1 корень; 2) 2 корня; 3) 3 корня; 4) 4 корня.

28.

1. Укажите показательную функцию:
1) у=х3; 2) у=х5/3; 3) у=3х+1; 4) у=3х+1.
2. Укажите функцию, возрастающую на всей области
определения:
1) у =(2/3)-х; 2) у=2-х; 3) у =(4/5)х; 4) у =0,9х.
3. Укажите функцию, убывающую на всей области определения:
1) у =(3/11)-х; 2) у=0,4х; 3) у =(10/7)х; 4) у =1,5х.
4. Укажите множество значений функции у=3-2х-8:
5. Укажите наименьшее из данных чисел:
1) 3-1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3.
6. Выясните графически, сколько корней имеет уравнение 2х=х1/3
1) 1 корень; 2) 2 корня; 3) 3 корня; 4) 4 корня.

29. Задание A6

Решите уравнения
1. 3 9,
x
2. 5 1,
x
x
1
3. 16,
2
x
4. 2 0,
x
1
5. 1.
5

30. Проверочная работа

x
13
x
y
;
y
5
;
y 0,75 ;
71
x
x
2
y ;
3
y x ; y x ; y 0,9 ; y 0,5 ;
x
x
y 1,3 ; y 2
2
2
x
x
Выберите показательные функции,
которые:
I вариант – убывают на области
определения;
II вариант – возрастают на области
определения.