Кривые второго порядка

1. Кривые второго порядка.

2.

Общее уравнение кривой
второго порядка имеет вид
Ах Вху Су Dх Еу F 0.
2
2

3.

Уравнение
такого
вида
может
определять:
эллипс (в частности,
окружность),
гиперболу,
параболу,
пару
прямых
(параллельных,
пересекающихся либо совпадающих),
точку или не определять никакой линии.

4. Окружность

• Окружностью наз-ся множество точек
плоскости, равноудаленных от одной и
тойже точки плоскости, называемой
центром окружности.
x x y y
2
0
2
0
R
2

5. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое
место точек (плоскости), сумма
расстояний которых от двух данных
точек, называемых фокусами этого
эллипса, есть величина постоянная.

6.

Y
Y
M
F1 c;0
F2 c;0
X

7.

MF1 MF2 2a
x c
2
y
2
x c
2
a b 0
c a b
2
2
y 2a
2

8. Уравнение эллипса

х
у
1
.
2
2
а
в
2
2
(x x ) ( y y )
1
a
b
2
2
0
2
0
2

9.

9

10. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое
место точек, для которых абсолютная
величина разности расстояний до двух
данных точек плоскости, называемых
фокусами, есть величина постоянная

11.

Y
Y
M
F1 c;0
F2 c;0
X

12.

MF1 MF2 2a
x c
2
x c
2
2
y
y
2
2
x c
y 2a
2
x c
y 2a
c a b
2
2
2
2

13. Уравнение гиперболы

х
у
1
.
2
2
а
в
2
2
(x x ) ( y y )
1
a
b
2
2
0
2
0
2

14.

15. Парабола

Параболой называется геометрическое
место точек, равноудаленных от данной
точки плоскости, называемой фокусом,
и данной прямой, называемой директрисой .

16.

Y
N
p
2
M
p
F ;0
2
X

17. Уравнение параболы

у 2 рх p 0
2
( y y ) 2 p( x x )
2
0
0

18.

19. Полярные координаты

х cos , у sin ;
cos
x
2
х у
2
, sin
у
2
х у
2