Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1.

Повторим изученный
материал…

2.

Выполните задание
Для каждой функции определите производную и первообразную
0 ошибок – оценка «5»; 1 ошибка – оценка «4»;
2 ошибки – оценка «3»; 3-7 ошибок – оценка «2».

3.

Проверим ответы
1-д-ж
2-в-г
3-е-а
4-ж-в
5-а-б
6-г-е
7-б-д

4.

Вопросы для повторения
1.Что значит решить уравнение?
2.Каков алгоритм решения
уравнений?
3.Какие виды уравнений вы умеете
решать?

5.

Тема: «Дифференциальные
уравнения первого порядка.
Дифференциальные
уравнения с
разделяющимися
переменными»

6.

Определение дифференциального уравнения
Дифференциальное уравнение – это уравнение, в
которое наряду с неизвестной функцией входит и ее
производная.
Уравнение вида
называется обыкновенным дифференциальным
уравнением n-го порядка.
Порядком
дифференциального
уравнения
называется порядок старшей производной, входящей в
данное уравнение.
Решением
дифференциального
уравнения
называется такая функция, которая обращает это
уравнение в тождество.

7.

Автономное уравнение
Вид уравнения:
Метод решения:
Умножим обе части уравнения на dx,
проинтегрируем
уравнения:
Таким образом,
обе
части
получившегося

8.

Уравнение с разделяющимися
переменными
Вид уравнения:
Метод решения:
.
Это уравнение сводится к системе
В первом уравнении после интегрирования
находим y как неявную функцию от x:

9.

Однородное уравнение
.
Вид уравнения:
Линейное однородное уравнение
Вид уравнения:
Линейное уравнение
Вид уравнения:

10.

Пример 1.
Найдите общее решение дифференциального
уравнения
x2
y
y
Решение. Дифференциальное уравнение запишем в
dy x 2
1
2
виде
,
получим,
что
и
f x x g y .
y
dx y
dy
2
2
ydy
x
dx . Интегрируем обе
x
dx
Т.о.
или
1y
части уравнения ydy x 2 dx , получим
y 2 x3
C
2 3

11.

Пример 2.
Найдите общее решение дифференциального
cos x
уравнения
y
sin y
Решение. Дифференциальное уравнение запишем в
dy cos x
виде
, или sin y dy cos x dx .
dx sin y
Интегрируем обе части уравнения
sin y dy cos x dx,
получим cos y sin x C или sin x cos y C.

12.

Пример 3.
Найдите общее решение дифференциального
уравнения
2
y xy
Решение. Дифференциальное уравнение запишем в
dy
2
dy
2 2
x
dx.
виде y x , или 2
y
dx
Интегрируем обе части уравнения
dy
2
x
y 2 dx,
2
1
x2
получим C или y 2
x C1
y
2