Вычисление углов между двумя прямыми, между прямой и плоскостью

1.

11 класс.

2. Цели урока:

Показать, как используется
скалярное произведение
векторов при решении задач
на вычисление углов между
двумя прямыми, между
прямой и плоскостью.

3. Повторяем теорию:

• Как находят координаты вектора, если известны
координаты его начала и конца?
АВ х В х А ; у В у А ; z B z A
• Как находят координаты середины отрезка?
х А хВ
;
2
• Как находят длину вектора?
у А уВ
;
2
2
2
а х у z
z A zB
2
2
• Как находят расстояние между точками?
2
2
АВ х В х А у В у А z B z A
• Как вы понимаете выражение «угол между
векторами»?
2

4. Повторяем теорию:

• Какие векторы называются перпендикулярными?
• Что называется скалярным произведением
векторов?
а b a b cos
• Чему равно скалярное произведение
перпендикулярных векторов?
• Чему равен скалярный квадрат вектора?
0
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
• Свойства скалярного произведения?
2
а 0
ab b a
a b c ac bc
k ab k a b

5. Направляющий вектор прямой.

а
В
А
• Ненулевой вектор называется
направляющим вектором
прямой, если он лежит на
самой прямой, либо на прямой,
параллельной ей.

6. Визуальный разбор задач из учебника (п.52).

№1. Найти угол между двумя прямыми
(пересекающимися или скрещивающимися), если
известны координаты направляющих векторов этих
прямых.
q x ; y ; z
p x ; y ; z
1
а)
р
1
1
б)
2
2
2
р
q
р
р
θ
q
q
q
θ
φ=θ
φ = 1800 - θ

7. Визуальный разбор задач из учебника (п.48).

№2. Найти угол между прямой и плоскостью, если
известны координаты направляющего вектора
прямой и координаты ненулевого вектора,
перпендикулярного к плоскости..
p x1 ; y1 ; z1
а)
б)
п x2 ; y2 ; z2
п
θ
п
а
θ
р
φ
р
φ
α
α
а
φ

8. № 464 (а)

Дано: А 3; 2;4 В 4; 1;2 С 6; 3;2 D 7; 3;1
Найти: угол между прямыми АВ и CD.
Ваши предложения…
1. Найдем координаты векторов
АВ 1;1; 2 и CD 1;0; 1
2. Воспользуемся формулой:
cos
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
x y z x y z
φ = 300
2
2

9.

№ 466 (а)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1
точка М принадлежит АА1
АМ : МА1 = 3 : 1; N – середина ВС
Вычислить косинус угла между прям. MN и DD1
z
1. Введем систему координат.
D1
2. Рассмотрим DD1 и МN.
A1
3. Пусть АА1= 4, тогда
М 0;4;3
N 4;2;0
4. Найдем координаты
векторов DD1 и MN.
5. По формуле найдем cosφ.
3
Ответ: 29
C1
B1
М
D
A
у
C
B
N
х

10.

Задача.
Дано: прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1; DA = 2; DC = 2; DD1 = 3.
Найти угол между прямыми СВ1 и D1B.
Ваши предложения…
1. Введем систему координат Dxyz
2. Рассмотрим направляющие A1
прямых D1B и CB1.
D1 B 1;2; 3
CВ1 1;0;3
3. По формуле найдем cosφ.
4
cos
35
47 0 28'
1
х
A
z
D1
C1
B1
3
D
2
C
B
у

11.

Дано: прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1
Найти угол между прямыми ВD и CD1.
1 способ:
D1
1. Введем систему координат Bxyz
2. Пусть АА1= 2, тогда
A1
АВ = ВС = 1.
z
C1
B1
В 0;0;0 С 1;0;0 D 1;1;0 D1 1;1;2
3. Координаты векторов:
ВD 1;1;0
CD1 0;1;2
4. Находим косинус угла между
прямыми:
1
cos
10
у
A
х
D
C
B

12.

Дано: прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1
Найти угол между прямыми ВD и CD1.
2 способ:
D1
1. Т.к. СD1|| ВА1, то углы
A1
между ВD и ВА1; ВD и СD1 –
равны.
2. В ΔВDА1: ВА1 = √5, А1D = √5
z
C1
B1
3. ΔВDА: по теореме Пифагора
BD AD 2 AB 2
BD 2
4. По теореме косинусов:
2
2
2
A1 D A1 B BD 2 A1 B BD cos
1
cos
у
A
10
х
D
C
B