Вычисление углов между прямыми и плоскостями (11 класс)

1.

Геометрия 11 класс
• Тема урока: Вычисление углов между
прямыми и плоскостями

2.

Повторяем теорию:
• Как находят координаты вектора, если известны
координаты его начала и конца?
АВ хВ х А ; у В у А ; z B z A
• Как находят координаты середины отрезка?
х А хВ
;
2
• Как находят длину вектора?
у А уВ
;
2
z A zB
2
а х2 у2 z 2
• Как находят расстояние между точками?
АВ
х х у у z z
2
В
А
2
В
А
• Как вы понимаете выражение «угол между
векторами»?
2
B
A

3.

Повторяем теорию:
• Какие векторы называются перпендикулярными?
• Что называется скалярным произведением
векторов?
а b a b cos
• Чему равно скалярное произведение
0
перпендикулярных векторов?
• Чему равен скалярный квадрат вектора?
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
• Свойства скалярного произведения?
а 0
2
ab ba
a b c ac bc
k ab k a b

4.

Угол между прямыми, лежащими в одной плоскости

5.

Угол между скрещивающимися прямыми

6.

Задача 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным 3, точка Е
делит ребро ВВ1 в отношении 1 : 2. Найти угол между
прямыми АЕ и DB1.

7.

8.

9.

Направляющий вектор
• Ненулевой вектор называется
направляющим вектором прямой а, если он
лежит либо на прямой а, либо на прямой,
параллельной прямой а.

10.

Алгоритм нахождения величины угла между
прямыми
•Выбрать направляющие векторы для данных прямых.
•Вычислить координаты направляющих векторов.
•Найти cos φ =

11.

Задача 2. Вершины тетраэдра АВСD имеют координаты
А(3;-1;0), В(0;-7;3), С(-2;1;-1), D(3;2;6). Доказать , что прямая АВ
перпендикулярна плоскости ADC.

12.

Задача 3.Дан куб АВСDA1 B1C1D1. 0 – центр грани
АВСD. Найти угол между прямыми ВО и А1D.

13.

14.

Задача 4.В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1
АВ = ВС = ½ АА1. Найти угол между прямыми ВD и CD1.

15.

Чтобы найти угол между прямой и плоскостью
нужно найти координаты ненулевого вектора,
перпендикулярного к плоскости.

16.

Угол между плоскостями равен углу между
прямыми, перпендикулярными этим плоскостям

17.

№ 466 (а)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1
точка М принадлежит АА1
АМ : МА1 = 3 : 1; N – середина ВС
Вычислить косинус угла между прям. MN и DD1
z
1. Введем систему координат.
D1
2. Рассмотрим DD1 и МN.
A1
3. Пусть АА1= 4, тогда
М 0;4;3
N 4;2;0
4. Найдем координаты
векторов DD1 и MN.
5. По формуле найдем cosφ.
3
Ответ: 29
C
1
B1
М
D
A
у
C
B
N
х

18.

Задача.
Дано: прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1; DA = 2; DC = 2; DD1 = 3.
Найти угол между прямыми СВ1 и D1B.
Ваши предложения…
1. Введем систему координат Dxyz
2. Рассмотрим направляющие A1
прямых D1B и CB1.
CВ1 1;0;3
D1 B 1;2; 3
z
D1
C
1
B1
3
3. По формуле найдем cosφ.
cos
4
35
47 28
0
1
'
х
A
D
2
C
B
у

19.

№ 467 (а)
Дано: прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1
Найти угол между прямыми ВD и CD1.
1 способ:
D1
1. Введем систему координат Bxyz
2. Пусть АА1= 2, тогда
A1
АВ = ВС = 1.
z
C1
B1
В 0;0;0 С 1;0;0 D 1;1;0 D1 1;1;2
3. Координаты векторов:
ВD 1;1;0
CD1 0;1;2
4. Находим косинус угла между
прямыми:
1
cos
10
у
A
х
D
C
B

20.

№ 467 (а)
Дано: прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1
Найти угол между прямыми ВD и CD1.
2 способ:
D1
1. Т.к. СD1|| ВА1, то углы
между ВD и ВА1; ВD и СD1 –
A1
равны.
2. В ΔВDА1: ВА1 = √5, А1D = √5
z
C1
B1
3. ΔВDА: по теореме Пифагора
BD AD AB
2
2
х
BD 2
4. По теореме косинусов:
A1 D 2 A1 B 2 BD2 2 A1 B BD cos
1
cos
у
A
10
D
C
B

21.

Решите задачи
1. Даны координаты точек
А(1;-1;-4), В(-3;-1;0),
С(-1;2;5), D(2;-3;1). Найти
косинус угла между
векторами .
2. Дан куб АВСDA1 B1C1D1.
Найти угол между
прямыми АD1 и ВК, где К –
середина ребра DD1.