Числовые множества. Признаки делимости

1.

Автономная некоммерческая организация
профессионального образования
КАЛИНИНГРАДСКИЙ БИЗНЕС-КОЛЛЕДЖ
Кафедра общих гуманитарных и естественных дисциплин
Числовые множества.
Признаки делимости.
Составитель: преподаватель:
Войкова Т.Ю.

2.

Множества.
Для обозначения множеств используются заглавные буквы
латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай
множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о
числовых множествах A, H, W и т.п. Особую важность имеют
множества натуральных, целых, рациональных,
действительных, комплексных чисел и т.п., для них были
приняты свои обозначения:
N – множество всех натуральных чисел: 1; 2; 3: 4; 5; 6;…;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
J или I или R\Q – множество иррациональных чисел;
R – множество действительных (что то же: вещественных)
чисел;
C – множество комплексных чисел.

3.

Операции с числовыми множествами.
Множество иррациональных чисел обозначают латинской буквой I
(и); J (жи; йот), а также R \ Q - разность множества действительных
(вещественных) и рациональных чисел.
Определение. Разность множеств А \ В – это множество элементов,
которые принадлежат первому множеству (А), но не принадлежат
второму множеству (В). Например, A={-1; 0; 2; 3; 4}; B={-1; 0; 3}
Тогда А \ В = {2; 4}
Разобраться легко, если сказать: «А, но не В» или «А, без В».
Таким образом, если мы отбросим от множества действительных
чисел «хорошие», рациональные числа (множество Q), то получим
множество «нехороших», иррациональных чисел. Как это множество
обозначать – математики так и не договорились. То ли I , то ли J, то
ли R\Q. Там число π, всякие неизвлекающиеся корни (как например
5) и прочие вредные для обычного человека числа.

4.

Простые и составные числа.
Простое число - это натуральное число, единственными делителями которого
являются только оно само и единица.
Все остальные натуральные числа называются составными. Натуральное число 1
не является ни простым, ни составным.
Последовательность простых чисел начинается так: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;…
Разложение числа на множители
Представление натурального числа в виде произведения натуральных чисел
называется разложением на множители. Если в разложении на множители
натурального числа все множители простые числа, то такое разложение
называется разложением на простые множители.
Разложим число 171864. Это – чётное число, следовательно кратно двум (т.е.
делится на 2). Получаем 85932, тоже чётное, делим на 2. Результат: 42966, делим
на 2. Следующее число 21483 кратно 3, т.к. 2+1+4+8+3=18 – делится на 3.
Аналогично, 7+1+6+1=15, значит, 7161 делится на 3. Далее используем более
сложные признаки делимости. Результат: 171864 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 31 м
на171864 = 23 ∙ 32 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 312м

5.

171864
Признаки делимости на 2 и на 3 мы уже повторили.
Признаки делимости на 5 и на 9 похожи на первые два
признака.
Обобщим: если крайняя справа цифра делится на 2 (на 5), то
число делится на 2 (на 5).
Если сумма цифр числа делится на 3 (на 9), то число делится
на 9.
Если крайняя справа цифра делится на 2 и на 5, то есть это
НУЛЬ, то число делится на 2 · 5, т.е. делится на 10.
Аналогично, если выполняются признаки делимости на 2 и
на 3, то число делится на 2 · 3, т.е. делится на 6.

6.

171864
- Делится на «2», т.к. 4 делится на «2».
171864
- Делится на «4», т.к. 64=40+24 делится на «4».
171864
- Делится на «8», т.к. 864=800+64 делится на «8».
Похожим образом связаны признаки делимости на 5 и
на 25.

7.

171864
Посмотрим, как работает признак делимости на «11».
Находим две суммы, складывая цифры через одну:
1+1+6=8
7+8+4=19
Находим разность полученных чисел: 8 – 19 = – 11 –
делится на 11. Следовательно, всё число делится на 11.
Убедитесь самостоятельно, что число
19 943
не делится на 3, но делится на 11.

8.

При разложении числа 171864 на
простые множители по умолчанию
использовался признак делимости на 7.
Как он работает:
2387→238-2·7=
=224;
224→22-2·4=14
- Делится на «7», следовательно,
число 2387 делится на 7.

9.

Задача.
Вычеркните в числе 58714263 три цифры так, чтобы
получившееся число делилось на 18.
В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
18=2∙9. Значит, мы должны получить число, кратное 2,
т.е чётное. Вычёркиваем тройку: 58714263
Сумма оставшихся цифр: 5+8+7+1+4+2+6=33.
Вспоминаем признак делимости на 9.
На 9 делятся числа 9, 18, 27.
33-9=24 – не соответствует условию;
33-18=15, 7+8=15, значит, вычёркиваем 7 и 8, получаем
в результате число 51426, которое кратно 18.
Другой вариант: 33-27=6, 5+1=6, вычёркиваем 5 и 1,
получаем число 87426, которое тоже кратно 18.
Подумайте, есть ли ещё один верный вариант ответа.
58716