Similar presentations:
Выпуклый анализ. Выпуклые множества. Лекция 10
1. ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ
ЛЕКЦИЯ 102. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
2.
2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)2.11. Сопряженные конусы.
3.
2.11. Сопряженные конусы. ПустьОпределение 16. Множество
U Ì Rn .
{
U * = u* Î Rn
называется сопряженным к множеству
u , u * ³ 0, " u Î U
}
U.
Пример 14. Построить сопряженные множества к конусам
1)
K1 = { u Î R n
a, u = 0} ;
3)
2)
K2 = { u Î Rn
a, u £ 0} ;
K 4 = { u Î R n u ³ 0} .
Решение.
1)
K1 = { u Î R n
a, u = 0} Þ
K1* = { u * Î R n u * = l a, l Î R1 }
Действительно,
u * , u = l a, u = l
2)
K2 = { u Î Rn
uÎ K1 Þ a ,u =0
a, u
=0
a, u £ 0} Þ K 2* = { u * Î R n u * =- l a, l ³ 0} .
Действительно,
u * , u = - l a, u = - l
u Î K 3 Þ a ,u £ 0
a, u
³ 0
4.
4){
Действительно,
³0
*
uÎ K 4 Þ
u³ 0
u , u
³ 0.
Упражнение 1.
Построить сопряженное множество к множеству
Решение.
U*
2
2
}
*
*
n
*
K 4 = { u Î R n u ³ 0} Þ K 4 = u Î R u ³ 0 .
u*
u
2
2
ìïæ
U = íç
ç
ïîè
ö üï
÷ý.
2 ÷
2 øï
þ
2
2
1* ö
ìï æ
ü
ïï
u
*
÷
2 1*
2 2*
ï
ç
÷ 2 u + 2 u ³ 0,ý =
U =í ç
2* ÷
ç
÷
ïï ç
ïï
î èu ø
þ
1* ö
ìï æ
ü
ïï
u
1
*
2
*
÷
ï
ç
÷ u + u ³ 0,ý.
=í ç
2* ÷
ç
÷
ïï ç
ïï
î èu ø
þ
5.
Следующая теорема устанавливает, что сопряженное множество к множествуU Ì Rn
является выпуклым замкнутым конусом и, что этот факт не зависит от свойств множества
U.
Теорема 22. Пусть
{
U * = u* Î R n
Доказательство.
U Ì Rn .
Тогда множество
}
U*
u , u * ³ 0, u Î U является выпуклым замкнутым конусом.
*
*
Пусть u U и l > 0. Тогда для всех u U имеем
³0
*
*
*
l
u
U
.
lu , u = l u , u ³ 0 Þ
*
*
*
*
Отсюда следует, что U - конус. Аналогично, для u , v U , l [ 0,1]
*
u U
справедливо неравенство
U*
³0
*
lu + ( 1 - l ) v , u = l u , u + ( 1 - l ) v , u ³ 0 Þ
lu * + ( 1 - l ) v* U * .
*
и
³0
*
и
*
выпуклое множество.
установить,
множеству.
Для доказательства его замкнутости достаточно
что любая предельная точка
Пусть
{u } ®u ,u
*
k
*
0
*
k
u 0* множества U * принадлежит самому
U * , k = 1, 2,L
6.
Тогда для всехu U
k = 1,2,
и
Переходя в нем к пределу при
lim u, u
u0* U * .
Теорема доказана.
= u, lim uk* = u , u0* ³ 0,
k ®¥
Замечание. Имеет место вложение
из определения
U
*
следует, что
Последнее означает, что
u, uk* ³ 0.
получим
*
k
k ®¥
что и означает
k ® ¥,
справедливо неравенство
u U ** .
U ÌU
**
= (U
)
* *
.
Действительно,
*
*
u , u * ³ 0 для всех u Î U и u Î U .