Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах

1. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах.

2. Актуализация знаний.

1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются
такие прямые?
Ответ: перпендикулярные.
2. Верно ли утверждение: «Прямая называется
перпендикулярной плоскости, если она
перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в
этой плоскости»
Ответ: да.
3. Сформулируйте признак
перпендикулярности прямой и плоскости.
Ответ: прямая перпендикулярна
плоскости, если она перпендикулярна к
двум пересекающимся прямым,
лежащим в этой плоскости.

3. Актуализация знаний.

4. Что можно сказать о двух прямых,
перпендикулярных к одной плоскости?
Ответ: прямые параллельны.
А
М
5. Закончи предложение «
Ответ: параллельны.
6. Как определяется расстояние от точки
до прямой на плоскости?
7. Вспомним, как называются
отрезки АМ, АН, точка М, точка Н.
Н

4. Изучение нового материала.

А
М
Н

5. Изучение нового материала.

А
М
Н

6.

A
H

7.

A
H

8.

а
A
H

9.

A
H
а

10.

D
Реши задачу.
C
5
A
7
B
12
D1
A1
C1
B1

11. Теорема о трёх перпендикулярах.

Прямая, проведённая в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к её проекции на эту
плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Обратно: Прямая, проведённая в плоскости через
основание наклонной перпендикулярно к ней
перпендикулярна и к её проекции.

12. Теорема о трёх перпендикулярах.

Прямая, проведённая в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к её проекции на эту
плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

13.

А
Н
М

14. «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Обобщающий урок

15.

Вопрос 1.
Какие прямые в пространстве называются
перпендикулярными?
Ответ:
Прямые в пространстве называются
перпендикулярными если угол между ними
равен 900
а
b
A
α

16.

Вопрос 2.
Сформулируйте лемму о перпендикулярности двух
параллельных прямых к третьей
а
b
с
M
α
C
A

17. Вопрос 4. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Вопрос 3.
Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?
Вопрос 4.
Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и
плоскости.
a
Дано:а р, а q
Доказать: а α
A
l
O
q
P
Q
p
α
m
L
B

18.

Вопрос 5.
Что называется расстоянием
от точки до плоскости?
Расстоянием от точки до плоскости
называется длина перпендикуляра от
данной точки до плоскости
A
а
b
α
В

19.

Вопрос 6.
Что называется расстоянием между прямой и
параллельной ей плоскостью?
а
А
b
D
α
с

20.

Вопрос 7.
Что называется расстоянием между
параллельными плоскостями?
A
α
К

21.

Вопрос 8.
Какие прямые называются скрещивающимися?
α
b
а
Ответ: Скрещивающимися
называются прямые, которые не
лежат в одной плоскости

22. Вопрос 9. Как измерить расстояние между скрещивающимися прямыми?

Расстояние между двумя
скрещивающимися прямыми равно
расстоянию от любой точки одной из
этих прямых до плоскости,
проходящей через вторую прямую,
параллельно первой.
Расстояние между двумя
скрещивающимися прямыми равно
расстоянию между двумя
параллельными плоскостями,
содержащими эти прямые.

23.

Расстояние между двумя
скрещивающимися прямыми
равно длине их общего
перпендикуляра (такой
отрезок единственный).

24. Докажите теорему о трех перпендикулярах

А
АН – перпендикуляр к плоскости
АВ – наклонная
ВН – проекция АВ на плоскость
Если а ВН, то а АВ
Н
В
а

25. Докажите теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах

А
A не лежит в плоскости
α
АD – перпендикуляр к плоскости α
АВ – наклонная
ВD – проекция АВ на плоскость α
Если а АВ, то а ВD
а
D
В
α

26.

М
2
Дано: МС ┴ АВС
1
М
Найти: АС
В
60°
3
С
О
А
А
ABCD – ромб.
D
С
8
В
Доказать: МО ┴ АВС
Дано: ABCD – параллелограмм, МВ┴АВС
Дано: DA ┴ АВС
Доказать: ABCD - прямоугольник
М
Найти: DB
3
D
30°
В
С
17
В
А
А
D
8
С
4

27.

а
Вопрос 10:
Что называют углом между
прямой и плоскостью?
α
Дайте определение
двугранного угла.
Как измеряется
двугранный угол?
а

28.

Вопрос 11: Какие плоскости называются
перпендикулярными?
Вопрос 12: Сформулируйте и докажите признак
перпендикулярности двух плоскостей.
В
С
А
α
α
D

29.

Вопрос 13: Какой параллелепипед
называют прямоугольным?
Вопрос 14: Перечислите свойства прямоугольного
параллелепипеда.
С1
В1
D1
А1
D
С
В
А
Вопрос 15:
Сформулируйте и
докажите теорему
о диагонали
прямоугольного
параллелепипеда.

30.

Решите задачу:
Дано: АВСD – прямоугольник,
МВ ⊥(АВС).
Доказать: (АМВ) ⊥(МВС)
М
В
D
А
С

31. В пирамиде DABC известны длины ребер: АВ=АС=DB=DC=10, ВС=DA=12. найдите расстояние между прямыми DA и ВС.

Треугольники BDC и АВС равнобедренные
D
DМ – высота ∆BDC , DМ - медиана ,
АМ – медиана ∆АВC → АМ – высота.
= ∆BDC по трем сторонам , DМ = АМ
→ ∆AMD равнобедренный
МК – медиана и высота.
К
6
МС⊥ AMD → МС ⊥ МК, AD ⊥МК ,
МК – общий перпендикуляр
скрещивающихся прямых AD и ВС
А
С
8
М
10
6
В
∆АВМ прямоугольный, АВ=10, ВМ=6 ,
АМ=8.
∆АКМ прямоугольный, АМ=8, АК=6 ,
МК=2√7.

32.

Решите задачу (по рисунку):
D
a 3
2
C
a
A
30°
B

33.

Решите задачу (по рисунку):
D
a 3
2
C
a
A
30°
B

34.

Дано:
Проведем ВЕ ⊥ АС, СЕ = ЕА, так как
ΔАВС - равнобедренный и высота
является также медианой.
то по теореме о 3-х перпендикулярах
DE ⊥ AC.

35.

ИСТОЧНИКИ:
Учебник Геометрии 10 класс
АтанасянЛ.С. и др. М.:
Просвещение.
2001
http://5terka.com/node/7155