Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Основные
тригонометрические
тождества

2. Основное тригонометрическое тождество.

cos sin 1
2
2
Зависимость между синусом и косинусом:
cos 1 sin
2
sin 1 cos 2
tg ctg 1
1
tg 1
cos 2
2
ctg 2 1
1
sin 2
Синус, косинус, тангенс углов ( ) и
cos( ) cos
sin( ) sin
tg ( ) tg
ctg ( ) ctg

3.

Пример 1: Могут ли одновременно быть
справедливы равенства:
1
1
а )соs и sin ?
2
2
Решение : т.к. рассматриваются функции sin и cos
одного и того же аргумента, то должно выполнятся
основное тригонометрическое тождество :
1 2 1 2
cos sin 1, но( ) ( ) 1
2
2
2
=>
2
1
1
соs и sin
2
2
одновременно справедливы быть не
могут.

4.

Пример 1: Могут ли одновременно быть
справедливы равенства:
3
1
б )соs
и sin ?
2
2
Решение : проверим выполнение
основного тригонометрического тождества :
1 2
3 2
cos sin 1, ( ) (
) 1
2
2
2
2
Основное тригонометрическое тождество выполняется. Значит
одновременно справедливы.

5.

Выполнить самостоятельно:
Могут ли одновременно быть справедливы
равенства:
2
3
;
и sin
1)соs
3
3
4
3
2) cos и sin ;
5
5
3
23
;
и sin
3) cos
5
5
4) cos 0,8и sin 0,2 ?

6.

Пример 2:Найти значения
тригонометрических функций числа α, зная,
.
что sinα=0,6 и
2
Решение : т.к.
2
, то IIчIчетвер , следовательно
cos 1 sin 2 1 0,6 2 0,8;
sin
0,6
3
;
cos
0,8
4
1
1
1
ctg
1 .
3
tg
3
4
tg

7.

Выполнить самостоятельно:
3
1) sin , tg , ctg , если cos и ;
5 2
2
3
2) cos , tg , ctg , если sin и
;
5
2
5 3
3) sin , tg , ctg , если cos и
2 ;
13 2
15
3
4) cos , sin , ctg , еслиtg и
;
8
2
5) sin , tg , ctg , если cos 0,8и 0
2
;
3
6) sin , tg , cos , еслиctg 3и
2 ;
2

8.

Пример 3:Упростить:
sin 4 2 sin 2 cos 2 cos 2
sin 2 (sin 2 cos 2 ) cos 2
sin 2 *1 cos 2 1

9.

Пример 3: докажите тождество:
(sin cos ) 2 1
2tg 2
ctg sin cos
(sin cos ) 2 1 sin 2 2 sin cos cos 2 1
cos
ctg sin cos
sin cos
sin
1 2 sin cos 1 2 sin cos * sin
2
2
cos sin cos
cos (1 sin )
sin
2 cos sin 2
sin 2
2
2
*
2
tg
2
2
cos cos
cos

10.

Выполнить самостоятельно:

11.

Практическое занятие
Вариант 1
1.Записать основное
тригонометрическое
тождество…………………………
2.Выразить из тригонометрического
тождества функцию
sin
………………………………………
cos , tg , ctg , если
3.Найти
известно, что
,7
cos
3
0
2
Вариант 2
1.Записать основное
тригонометрическое
тождество……………………………
2.Выразить из тригонометрического
тождества функцию
cos
……………….......................................
3.Найти sin , tg , ctg , если известно,
что
,
3
6
sin
4
2