Пирамиды. Решение задач. C 12

1.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой
равны 1, точки E, K середины ребер SB и SC соответственно. Найдите
косинус угла между прямыми AE и BK.
Из SOB
Найдем координаты
точек A, B, E, K.
Из АBD
z
S
S
Лучше всего выбрать начало
координат в центре основания
пирамиды, а оси X
и Y сделать параллельными
сторонам основания.
2
2
SO2 = 12 –
2
BD2 = 12 + 12
BD2 = 2
BD =
K?
1 1
E (?4 ; 4;
2
2
BО = 2
D
2
4
SO2 = 1 –
1
2
SO2 =
XE
)
C
1
O
B 2
1O
4
X
1 1
1
2
4
1
1
1 B( 1 ; 1; 0)
A (?2 ;- 2 ; 0) 1
?2 2
2
x
SO2 = 1 –
1
y
SO =
1
2
SO =
2
2
E
2
2
2
4
2
2
X
1
2

2.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой
равны 1, точки E, K середины ребер SB и SC соответственно. Найдите
косинус угла между прямыми AE и BK.
z
1 ;- 1; 0)
(
A 2 2
1 ; 1; 2 )
(
E 4 4 4
Найдем координаты
точки
K. АЕ и ВК.
векторов
1
B( 12 ; 2; 0)
1 ; 1; 2)
(К 4 4 4
S
1; 3; 2 )
(AE
1.
4 4 4
3 ;- 1 ; 2 )
(2. BK
4 4 4
2
K (? 14 ; 14 ; 4 )
Это расстояние мы
2
уже считали
E
4
D
- 14
C
1
2
1
4
O
A
1
2
x
1
2
1
2
B
y
Чтобы найти координаты
вектора вычтем из координат
конца соответствующие
координаты начала вектора.

3.

1; 3; 2 )
(AE
1.
4 4 4
x1 x2 y1 y2 z1 z2
3. cos
cos
3 ;- 1 ; 2 )
(2. BK
4 4 4
x12 y12 z12 x22 y22 z22
1 3 3 1
2 2
4 4 4 4 4 4
2
2
2
2
1
3
2
3
1
4 4 4
4 4 4
2
2
1
1
8
8
3
3 3
4 4
4
2
3 3 2
16 16 16
12 12
16 16
1 4 1
8 3 6
cos
1
6