Элементы теории вероятности. Противоположные события. Их вероятность. 9 класс (2)

1.

9 класс (2 урок)

2. Проверка домашнего задания

№ 798 Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из
которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что
купленный билет окажется выигрышным?
Решение: N = 1500, N(A) = 120, P(A) = 120/1500 = 2/25=0.08
№ 799 Какова вероятность того, что при бросании игрального
кубика выпадет: а) 1 очко; б) более 4 очков?
Решение: а) N = 6, N(A) = 1, P(A) = 1/6
б) N = 6, N(A) = 2, P(A) = 2/6 = 1/3
№ 800 Ученик записал в тетради произвольное двухзначное
число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа
окажется равной 6?
Решение: N = 90, N(A) = 6 (1+5,2+4,3+3,4+2,5+1,6+0),P(A) =
1/15

3.

№ 801 В кооперативном доме 93 квартиры, из которых 3 находятся
на первом этаже, а 6 – на последнем. Квартиры распределяются
по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется
квартира, расположенная на первом или на последнем этаже?
Решение: N = 93, N(A) = 93-(3+6)=84, P(A) = 84/93= 28/31
№ 807 В коробке лежат только красные и синие карандаши.
Рассматриваются следующие события:
А - из коробки вынут красный карандаш; В - из коробки вынут синий
карандаш; С - из коробки вынут цветной карандаш; Д - из коробки
вынут желтый карандаш;
Вероятность какого из этих событий равна 0, равна 1, больше 0, но
меньше 1?
Решение: А – вероятность больше 0, но меньше 1, В -
больше 0, но меньше 1, С – равна 1, Д – равна 0.

4. Тема урока: Противоположные события. Их вероятность.

• Событие В называют противоположным событию А
и обозначают В= А-, если событие В происходит,
тогда и только тогда, когда не происходит событие А.
• Для нахождения вероятности противоположного события
следует из единицы вычесть вероятность самого события:
Р(А- ) = 1 – Р(А).
• Довольно часто удобно использовать симметричную
формулу Р(А) = 1 – Р(А-).
Это бывает в тех случаях, когда подсчитать вероятность
противоположного события проще, чем найти вероятность самого
события.

5. Рассмотрим решение примера. Какова вероятность того, что при трёх последовательных бросаниях игрального кубика хотя бы один раз

выпадет 6?
• Решение: При одном бросании кубика
выпадут 1, 2, 3, 4,5 или 6. При втором и
третьем бросании возможны те же результаты,
т.е. для трёх бросаний по правилу умножения
имеем N = 6*6*6 = 216 исходов.
• А – выпадение хотя бы одно шестёрки, А- шестёрка не выпадет вообще ни разу. Но тогда
все три раза на кубике выпадет одна из пяти
цифр, т.е. N(A- ) = 5*5*5 = 125. Следовательно,
Р(А- )= 125/216.
• Р(А) = 1 – Р(А-) = 1-125/216=91/216

6.

Решение задач:
1. Игральный кубик бросили дважды.
Найдите вероятность того, что:
а) среди выпавших чисел есть хотя бы одна единица;
Решение: Общее число возможных исходов при бросании кубика
равно N = 6*6 = 36 исходов .
а) исходов в которых нет ни одной единицы, всего 5*5=25.
Следовательно, P(A) = 1- 25/36 = 11/36;
б) сумма выпавших чисел не больше 3;
Решение: б) исходов в которых сумма выпавших чисел не больше
3, всего три ( это 1-1, 1-2, 2-1 ), поэтому N(В) =3 , P(В) = 3/36=1/12
в) сумма выпавших чисел меньше 11;
Решение: исходов в которых сумма выпавших чисел меньше 11,
всего N(С)=36-3=33 ( т. к. исходов в которых сумма чисел не
меньше 11, три, т. е. 5-6, 6-5, 6-6), P(С) = 33/36=11/12

7. 2) Случайным образом выбирают натуральное число из промежутка . Найдите вероятность того, что: а) оно не оканчивается нулём;

Решение: Промежуток содержит 100 целых чисел. N=100, выбор
любого из этих чисел равновозможен.
Рассмотрим событие: А – « Выбранное число не оканчивается 0»
Количество благоприятных исходов для каждого их этих событий
подсчитаем, исключив «ненужные» варианты.
Количество чисел оканчивающихся нулём равно
N(A) = N – 10 = 90 . P(A) = N(A)/ N = 90/100 = 0,9 или
другим способом: Р(А) = 1 – Р(А-) = 1-10/100=90/100=0,9.

8. 2) Случайным образом выбирают натуральное число из промежутка . Найдите вероятность того, что: б) среди его цифр есть хотя бы

одна большая двух
Решение: Промежуток
содержит 100 целых чисел. N=100, выбор
любого из этих чисел равновозможен.
Рассмотрим событие: В – « среди цифр выбранного числа, есть хотя бы
одна цифра большая двух»
Количество благоприятных исходов для каждого их этих событий
подсчитаем, исключив «ненужные» варианты.
Количество чисел, составленных только из цифр не больше 2 (0;1;2)
равна 9 (100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122) на этом
промежутке.
N(В) = N – 9 = 91 . P(В) = N(В)/ N = 91/100 = 0,91 или
другим способом: Р(В) = 1 – Р(В-) = 1-9/100=91/100=0,91.

9. 2) Случайным образом выбирают натуральное число из промежутка . Найдите вероятность того, что: в) оно не является квадратом

другого целого числа;
Решение: Промежуток
содержит 100 целых чисел. N=100, выбор
любого из этих чисел равновозможен.
Рассмотрим событие: С – « выбранное число не является квадратом
другого целого числа»
Количество благоприятных исходов для каждого их этих событий
подсчитаем, исключив «ненужные» варианты.
Количество чисел, являющихся квадратом целого числа,
подсчитаем непосредственно: 100, 121, 144, 169, 196 –
всего 5 чисел, поэтому
N(С) = N – 5 = 95 . P(С) = N(С)/ N = 95/100 = 0,95 или
другим способом: Р(С) = 1 – Р(С-) = 1-5/100=95/100=0,95.

10. 2) Случайным образом выбирают натуральное число из промежутка . Найдите вероятность того, что: г) сумма его цифр меньше 17.

.
2) Случайным образом выбирают натуральное число из
промежутка .
Найдите вероятность того, что:
г) сумма его цифр меньше 17.
Решение: Промежуток
содержит 100 целых чисел. N=100, выбор
любого из этих чисел равновозможен.
Рассмотрим событие: D – «сумма цифр выбранного числа меньше 17».
Количество благоприятных исходов для каждого их этих событий
подсчитаем, исключив «ненужные» варианты.
Количество чисел, сумма цифр которых не меньше 17, будет
100 .
N(Д) = N – 100 = 0 . P(С) = N(С)/ N = 0/100=0

11. Дома:

1) Событие А – « на игральной кости выпало
меньше 5 очков». Что означает событие А ?
Выразите значение Р(А) в процентах.
2) Наугад называется натуральное число от
1 до 30. Какова вероятность того, что это
число не 15?
3) В лотерее 1000 билетов, среди которых 20
выигрышных. Приобретается один билет. Какова
вероятность того, что этот билет:
1) выигрышный; 2) невыигрышный.
4) В кооперативном доме 93 квартиры, из
которых три находится на первом этаже, а 6 на
последнем. Квартиры распределяются по жребию.
Какова вероятность того, что жильцу не
достанется квартира, расположенная на первом
или последнем этаже?