Моделирование электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе

1.

Моделирование электромагнитных волн в
цилиндрическом волноводе
D
t
B
rotE
t
rotH
D 0 E ,
B 0 H ,
E (r , t ) E (r )ei t ,
H (r , t ) H (r )ei t ,
0
1 9 F
7 Gn
0
4 10 7 36 109 120 Om ,
10 0 4 10 , 0
0
36
m
m
rot H i 0 E ,
rot E i 0 H ,
e iE ,
rot H 0 e ,
rot e 0 H ,
h 0 H ,
rot h 0
0
e,
0
rot h 0 0 e ,
rot e 0
0
h,
0
rot e 0 0 h ,
rot h 0 0e ,
rot 0e 0 h ,
rot h k0 e ,
rot e k0 h ,
3

2.

k0 0 0 ,
1
c
,
0 0
k0 ,
c
c 0 F , 2 F ,
rot h k0 e ,
r, ,z.
2
k0
.
0
rot e k0 h ,
1 rA 1 A
1 Az A
Ar Az
r
rot A
i
i
iz ,
r
r
r z
z r
r r
1 1 2
2
A
r r r 2 2 z 2 A,
r
r
2
1 hz h
k0 er ,
r z
1 ez e
k0 hr ,
r z
hr hz
k0 e ,
z r
er ez
k0 h ,
z r
1 rh 1 hr
k0 ez ,
r r
r
1 re 1 er
k0 hz ,
r r
r
k0 r, z k0 z.
Координаты безразмерные.
4

3.

1 hz h
e ,
z
h
z
1 ez e
h ,
z
e
hz
e ,
z
h 1 h
1
h
ez ,
z
z ,
k0
z z,
vф F
1
2
3
ez
h ,
h
e
e 1 e
1
e
hz ,
,
k0
2
h
e
ei z
.
.
0
1 hz
i h e ,
h
i h z e ,
h 1 h
1
h
ez ,
4
5
6
ei t
,
vф
h
e
vф
ei z ei t
1
,
0 0
1 ez
i e h ,
e
i e z h ,
e 1 e
1
e
hz ,
5

4.

Выразим e , h , e , h через ez , hz . .
Из (1,5):
1 1 hz
e
i h ,
Из (2,4):
h
ez
1
i
e
,
e
ez
1 hz
i
,
2
h
ez
1 i hz
,
2
h
hz
1 ez
i
,
2
e
hz
1 i ez
,
2
Подставим в (3) поперечные компоненты:
2ez
ez
2ez
2
2
ez
0
2
2
h 1 h
1
h
ez , ( 3 )
2
Подставим в (6) поперечные компоненты:
2 hz
hz
2 hz
2
2
hz
0.
2
2
2
e 1 e
1
e
hz , ( 6 )
6

5.

2 ez
ez
2 ez
2
2
ez
0,
2
2
2
2 hz
hz
2 hz
2
2
hz
0
2
2
2
e
hz
e
1
i z ,
2
h
i hz
ez
1
,
2
h
ez
h
1
i z ,
2
h
e
1 i hz
z ,
2
i ez
hz
1
e
,
2
e
h
1 i ez
z ,
2
e
1 hz
i z ,
2
h
1 ez
h
i z ,
2
e
Вариант 2 (в векторной форме).
rot h k0 e ,
rot h k0 e,
rot rote grad dive 2e, dive 0.
rot e k0 h ,
rot rot e k0 rot h,
rot rot e k02 e,
2
k e 0,
2
0
r, ,z,
2 2
e 0,
2
z
1 1 2
2
A
2 A,
r
2
2
r
r
r
r
z
2
e , ,z e , ei z ,
1 1 2
e
2
e
2
2
2e
e
2e
2
2
e 2 0,
2
2
rot rot e 2e
7

6.

Метод разделения переменных
2ez
ez
2 ez
2 2
ez
0,
2
2
2
2 2 , 2 .
ez , R ,
2 R
R
2
2 2
R R
0,
2
2
2
2
2 R
R
2 2
2
R
R
1
,
2
2
1 d 2
n2 ,
2
d
2 d 2 R dR
2 2 n 2 ,
2
R d
R d
d 2R
dR
2 2 n 2 R 0,
2
d
d
2
d 2R
dR
2 2 n 2 R 0,
2
d
d
2
2
r2
d R
dR
r
r 2 n 2 R 0,
2
dr
dr
d 2
n 2 0.
2
d
2
n2 0,
2
Dein ,
r ,
R1,2 r
r 0, r ,
C r
k 0
k
k
,
8

7.

dR
1
r Ck k r k ,
dr
k 0
d 2R
2
r Ck k k 1 r k ,
2
dr
k 0
C k k 1 r C k r r
k
k 0
k
k
k 0
2
n
2
0,
2
k
1,2 n, R1,2 r
n
n
2
C r
k 0
k
k
0
C r
k 0
k
k
,
R1 r r
1 r 2k J r
n
k 0 k ! n k !
n
k
Функции Бесселя J 0 x - зеленая кривая, J1 x - оранжевая кривая
Корни функции
n ,m
R2 r
R AJ n BYn ,
dR1
d
2
Yn r ,
9

8.

in
ez , ,z,t AJ n BYn e ei zei t
hz , ,z
Краевые задачи
Задача Дирихле.
a L 0,
a n 1 , n n 1 .
ez
a
0,
n L1
a n 1 , n n 1 ,
hz
n
1
Задача Неймана.
L1
0,
0,
ez n 1 , n n 1 .
hz n 1 , n n 1 ,
L1
Задача Дирихле. E – волны.
ez AJ n BYn ,
B 0,
ez
a
0
ez AJ n ,
ez a AJ n a 0,
J n a 0,
a n,m ,
n,m ,
a
2 n ,m ,
a
2
10

9.

2 n ,m ,
a
2
rмет 0.03 м, 1, 1,
2
2
m
n
2
.
a b
f = 10 ГГц,
2 2 f 6.3 10 109
k0
210 м 1 ,
8
c
3 10
a k0 r 0.03 210 6.3,
n ,m 1 n ,m ,
a
6.3
2
2
Корни функции Бесселя
11

10.

Структура поля.
ez E0 J n ,
hz 0,
E0 n
J n J n 1 ,
2
n
e 2 ez ,
e i
h
h
i
i
e ,
n ,m ,
a
2
2
2
e .
Критический размер волновода.
n ,m ,
0,
n ,m , aкр n ,m .
a
a
2
2
0
, k0
, 0 , 0, в , в 0
,
2
в
0
k0 в
n ,m
a
2
2
Критическая частота.
0, в ,
k0
2 c
,
f
кр 2
Rв
,
n ,m
n ,m
, k0 , k0 k0 n ,m , k0 n ,m ,
a
a
Rв
2 n ,m
2 n ,m
,
кр ,
,
Rв
кр
Rв
f кр
c n ,m
,
2 Rв
12

11.

Задача Неймана. H – волны.
hz n AJ n BYn ,
n ,m
J n a 0, a n ,m ,
,
a
a
h
0,
n L1 L1
B 0,
hz
0,
a
J n
0,
a
n ,m
,
a
2
2
r 30 мм, 1, 1,
2 f 6.3 109
f = 10ГГц ,
k0
210 м 1 ,
8
c
3 10
a k0 r 0.03 210 6.3,
n ,m 1 n ,m ,
a
6 .3
2
2
13