Динамика системы материальных точек. (Лекция 5)

1. ЛЕКЦИЯ № 3

I. Динамика системы материальных точек
1.Система материальных точек. Центр масс (инерции).
Аддитивность массы в нерелятивистской механике.
2. Полный импульс системы материальных точек.
3. Закон сохранения импульса. Внутренние и внешние силы.
4. Теорема о движении центра масс. Система центра масс.
II. Работа и энергия
5. Механическая работа. Мощность.
6. Кинетическая энергия частицы и системы частиц.
7. Консервативные, неконсервативные и
гироскопические силы.

2. Система материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных
точек с заданными массами m, iгде i 1,2,...,-nномер
частицы. Состояние системы материальных точек задаётся
путём определения состояния всех материальных точек,
входящих в данную систему:
r t , V t
i
i
Центром масс (или центром инерции) системы материальных
точек называется воображаемая точка С, которая характеризует
движение системы этих точек как некого целого, и положение
которой характеризуется распределением массы
этойn системы.
n
Ее радиус-вектор равен:
rc
mi ri
i 1
n
mi
i 1
mi ri
i 1
m

3. Центр масс ( инерции )

Воображаемую точку С с радиус-вектором
1 n
rc mi ri
m i 1
где i - номер точки,
n - количество точек,
mi - масса i-ой точки и
m - масса всей системы
точек
называют центром масс
системы материальных
точек
Z
K
O
X
rc
Y

4. Аддитивность массы в нерелятивистской механике.

Полная масса системы материальных точек:
m
n
m
i 1
i
в области малых скоростей cнаходится путём
сложения масс всех частиц систем (здесь используется
аддитивность массы в нерелятивистской механики). В
релятивистской механике (v ~c) масса системы частиц
зависит от энергии взаимодействия между частицами,
поэтому последняя формула не справедлива.

5. Скорость центра масс системы материальных точек

Взяв производную rc по времени, получим
скорость центра масс:
n
1
rc mi ri
m i 1
где
n
n
drc 1
dri 1
c
mi
mi υi
dt m i 1
dt m i 1
dri - скорость i-ой материальной
i
dt
точки системы
Отметим, что из формулы в красной рамке
n
следует
m υ mυ
i 1
i i
c

6. Полный импульс системы материальных точек (частиц)

В нерелятивистской механике полный импульс системы
материальных точек равен сумме импульсов всех частиц
n
системы:
p pi
i 1
pi nmi υi
где
-
импульс i–ой частицы.
m m
m
υ
m
υ
Так как i i
c , где υ
c
i 1
n
i 1
i
- скорость ц.м.
то импульс системы частиц можно определить по формуле:
p mυc

7.

n
pc m c mi i
- импульс центра масс
i 1
Импульс системы материальных точек
(импульс центра масс) равен произведению
массы системы на скорость ее центра масс.
Таким образом, связь импульса pc со
скоростью υc такая же, как для
материальной точки с массой m
(масса
системы).

8.

9. Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы частиц

Тела, не входящие в состав рассматриваемой
системы, называют внешними телами, а силы,
действующие на систему со стороны этих тел –
внешними силами. Силы взаимодействия между
телами внутри системы, называют внутренними
силами.
Результирующая всех внутренних сил
действующих на i-ое тело:
внутр. n
Fi
Fik Fi1 Fi 2 ... Fin ,
k i
где
k i , т.к.
i-ая точка не может действовать сама на себя.

10.

внеш.
Обозначим Fi
– результирующая всех
внешних сил приложенных к i-ой точке
системы.
По второму закону Ньютона можно
записать систему уравнений:
внеш.
d
m1υ1 F1 F12 F13 ... F1n ,
dt
внеш.
d
m2υ2 F2 F21 F23 ... F2n ,
dt
...............................,
внеш.
d
mnυn Fn Fn1 ... Fn,n 1 .
dt

11.

Сложим
эти
уравнения и сгруппируем попарно
силы Fik и Fki:
n
d
внеш.
dt mi υi Fi F12 F21 ... Fn 1,n Fn,n 1 .
i 1
i 1
n
По третьему закону Ньютона Fik Fki
,
поэтому все выражения в скобках в правой части
уравнения равны нулю. Тогда получаем:
n
внеш.
d
dp
mi υi Fi .
dt
i 1 dt
i 1
n
Вектор F внеш Fi внеш.– суммарный(результирующий)
i 1
вектор всех внешних
сил, тогда:
n
внеш
dp
F
dt

12.

Скорость изменения импульса системы
dp
F
равна векторной сумме всех
dtвнешних
сил, действующих на эту систему.
Это уравнение называют основным
уравнением динамики
поступательного
p mυc тел. Так как импульс
движения системы
системы
то:
d
dt
mυc F
Наконец, можно записать основное уравнение
движения
динамики поступательного
m
a
F
c
системы
тел
в
виде:
где
ac
– ускорение центра масс.

13.

Центр масс механической системы движется
как материальная точка, масса которой равна
массе всей системы, и на которую действует
сила, равная векторной сумме внешних сил,
приложенных к системе:
mac F
Это утверждение представляет собой теорему о
движении центра масс.

14. Закон сохранения импульса

Механическая система называется замкнутой
(или изолированной), если на неё не действуют
внешние силы, т.е. она
неn взаимодействует с
внешними телами или F Fi внеш. 0.
i 1
Строго говоря, каждая реальная система тел
всегда не замкнута, т.к. подвержена, как минимум
воздействию гравитационных сил. Однако если
внутренние силы гораздо больше внешних, то
такую систему можно считать замкнутой
(например – Солнечная система).
Для замкнутой системы равнодействующий
вектор внешних сил тождественно равен нулю:
dp
F 0
dt

15.

n
отсюда p mi vi mvc const.
i 1
Это есть закон сохранения импульса: импульс замкнутой
системы не изменяется во времени.
Так как импульс системы тел может быть представлен в виде
произведения суммарной массы тел на скорость центра инерции:
то :
p mυc
c
При любых процессах, происходящих в замкнутых
(изолированных)
системах,
скорость
центра
масс
сохраняется неизменной.
Закон сохранения импульса является одним из основных
законов природы. Он был получен как следствие законов
Ньютона, но он справедлив и для микрочастиц и для
релятивистских скоростей, когда
c.
mυ const

16. Система центра масс

Система отсчёта, движущаяся со скоростью центра
масс, называется системой центра масс(с.ц.м). В
этой системе отсчёта начало системы координат
помещается в центр масс,
поэтому
,
r
0
c
drc
следовательно,
c
dt
0
Это означает, что полный импульс системы частиц
равен нулю, и наблюдается только относительное
движение частиц, поэтому она удобна для анализа
столкновения частиц.

17.

При стрельбе из орудия возникает отдача – снаряд
движется вперед, а орудие – откатывается назад.
Снаряд и орудие – два взаимодействующих тела.
Скорость, которую приобретает орудие при отдаче,
зависит только от скорости снаряда и отношения масс.
MV mv MV0 mv0 0
т.к. V0 v0 0
MV0
v
m

18. Механическая работа. Мощность.

Изменение механического движения тела вызывается
силами, которые действуют на него со стороны других тел.
Чтобы количественно характеризовать процесс обмена
энергии между взаимодействующими телами, в механике
вводится понятие работы силы.
Если тело движется прямолинейно и на него действует
постоянная сила F , которая составляет некоторый угол
с направлением перемещения, то работа этой
силы равна произведению проекции силы Fs F F cos
s
на перемещение точки приложения силы
A Fs s Fs cos

19.

В общем случае сила может изменяться как по модулю,
так и по направлению.
Если рассматривать
элементарное перемещение dr , то
силу F можно считать постоянной, а движение точки –
прямолинейным.
Элементарная работа силы F на перемещении dr равна
произведению:
скалярному
dA Fdr F cos ds Fs ds
где
- угол между векторами
F и d r
ds dr -элементарный путь
Fs - проекция вектора
силы
на перемещение dr

20.

Работа силы на участке траектории от
точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме
элементарных работ на отдельных бесконечно
малых участках пути.
Эта сумма равна определенному интегралу:
2
2
1
1
A F cos ds Fs ds

21.

Для вычисления этого интеграла надо знать
зависимость силы Fs от пути
вдоль
траектории 1-2.
Если такая зависимость представлена
графически, тогда искомая работа численно равна
площади фигуры между осью
и кривой Fs(S) .
s
s

22.

Если, например, тело движется прямолинейно, сила
и
то интеграл легко определяется:
F const
2
2
1
1
const
,
A Fds cos F cos ds Fs cos
где
s - пройденный путь.

23.

Как следует из определения работы при:
1)
2)
3)
2
работа силы положительна.
2
работа силы отрицательна.
работа силы равна нулю, так как вектор
2 силы перпендикулярен вектору перемещения.
.
Единица работы – джоуль [ Дж]
1Дж = 1Н·м

24.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы,
вводят понятие мощности
dA
N
dt
За время dt сила F совершает работу Fdr , и
мощность, развиваемая этой силой в данный момент
времени:
Fdr
N
dt
F v
то есть равна скалярному произведению силы на вектор
скорости, с которой движется точка приложения силы.
Мощность N - величина скалярная.
Единица мощности – ватт [Вт] 1Вт = 1Дж/с

25.

Математическая справка
Нахождение определенного интеграла:
а
a
x
a
F kx dx k
k
0
n 1 0
n 1
0
a
n
где
n 1
n 1
k const
x
n
- степенная функция с показателем степени n
0 и а – пределы интегрирования

26. Примеры вычисления работы

Пример . Рассмотрим в качестве примера работу,
совершаемую при деформации пружины.
В случае упругой деформации пружины
x
l0
0
x
где
F
F k x
F
приложенная сила,
x деформация пружины
Сила упругости пропорциональна деформации:
Fупр
F
x
Fупр F kx.

27.

где
x
Fx
k
- проекция силы упругости на ось
;
- коэффициент упругости (для пружины –
жесткость), а знак минус указывает, что сила
направлена в сторону, противоположную деформации.
Элементарная работа dA , совершаемая силой при бесконечно малой деформации dx , равна:
dA Fx dx kxdx
Полная работа силы
Fx
x
равна:
kx
A kxdx
2
0
2

28. Кинетическая энергия частицы.

Кинетическая энергия механической системы – это
энергия механического движения этой системы.
Имеем покоящееся тело. На него действует сила F , под
действием которой тело начинает двигаться.
При этом сила совершает работу, а энергия движущегося
тела возрастает на величину затраченной работы.
Работа dA силы F на пути, который тело прошло за
время возрастания скорости от 0 до V , идет на увеличение
кинетической энергии. Покажем это.

29.

Работа силы на конечном перемещении:
2
2
A F dA FdS
1 2
1
1
Элементарная работа суммы сил F F1 F2 ... Fn :
dA F dA1 dA2 ... dAn
A1 2
Работа суммы сил:
AF
1 2
n
F A1 2 Fi ,
i 1
FdS
2
1
2
1
то есть:
dP
Vdt
dt
.

30.

dP
A F FdS
Vdt
dt
1 2
1
1
2
2
.
dP
F
или
dS Vdt
dt
d d
dV
F
P mV m
dt
dt
dt
Здесь
Полная работа определяется следующим выражением:
A1 2
V2
2
2
2
mV2 mV1
F m VdV m VdV
2
2
1
V1
Выражение
2
mV
K
2
кинетическая
энергия

31.

Полная работа связана с изменением кинетической энергии
следующим образом:
A F K 2 K1
1 2
Работа всех сил, действующих на тело, равна приращению
кинетической энергии этой системы.
Полученную формулу можно записать компактно:
или dK dA.
A K
Последнее выражение можно озвучить так:
Изменение кинетической
энергии dK равно работе
dA.
внешних сил
Важно отметить, что приращение кинетической энергии
определяется работой не только внешних, но и внутренних
сил.

32.

Кинетическая энергия зависит от массы и скорости тела .
Говорят : кинетическая энергия системы есть функция
состояния движения.
В разных инерциальных системах отсчета, движущихся
относительно друг друга, скорость тела, а ,следовательно,
и его кинетическая энергия будут неодинаковы.
Таким образом, кинетическая энергия зависит
от выбора системы отсчета.

33.

Из теоремы Кенинга следует
В системе центра масс: V 0
c
2
0
MV
К К
2
Кинетическая энергия системы материальных точек
равна сумме кинетической энергии всей массы
системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс
и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии
той же системы в её относительном движении по
отношению к центру масс.

34. Консервативные и неконсервативные силы.

Консервативными называются силы, работа которых
не зависит от того, по какой траектории произошло
перемещение тела, а зависит только от его начального
и конечного положений. Примеры таких сил : упругие
силы и гравитационные силы. Работа упругих сил была
рассмотрена ранее.
Определим работу, совершаемую силой тяготения
при перемещении ею материальной точки массой m .
На расстоянии R на данное тело действует сила:
Mm
F G 2
R

35.

При перемещении этого тела на расстояние dR
совершается работа
M
mM
dA G 2 dR
R
F
О
Земля
dR
R
Направления силы и перемещения совпадают.
Если тело перемещать с расстояния
R2
R1 до R2 , то работа
R2
GM GM
mM
A12 dA G 2 dR m
R
R2
R1
R1
R1
Из полученного выражения видно, что работа зависит
только от начального и конечного положения тела.
m

36.

Сила тяготения является центральной силой. Сила
называется центральной, если она направлена к одной и
той же точке (или от нее) и зависит от расстояния до
этой точки, которая называется силовым центром.
(Центральной силой является также сила Кулона).
Покажем, что работа центральной силы зависит только от
начального и конечного положения материальной точки.
2
Элементарная
работа центральной
F
силы F :
dS
dr
r
1
r1
r2
dA FdS FdS Cos FdS r
Из рисунка видно, что
dS r ds cos dr ,
Поэтому:
Окончательно полная работа:
dA F (r ) dr
A1 2
r2
F F r dr.
r1

37.

,
.
Так как по определению величина
центральной силы есть
функция только расстояния r, то значение определённого
интеграла будет зависеть только от величин r1 и r2, и не будет
зависеть от формы траектории.
Можно дать другое определение консервативной силы.
Рассмотрим перемещение частицы из положения 1 в
положение 3 под действием консервативной силы F .
Работа, совершаемая
при этом
силой F , не зависит от
траектории, то есть:
2
1
3
4
A123
F A143 F
.

38.

2
1
3
4
Тогда работа по
замкнутой траектории:
A0 ( F ) A12341 ( F ) A123 F A341 F
Но так как:
A341
F A143 F A123 F .
Окончательно:
A0 F A123 F A341 F A123 F A123 F 0 .
Отсюда следует еще одно определение консервативных сил:
работа консервативных сил по любой замкнутой
траектории равна нулю.
.

39.

Математическая запись этого утверждения может быть
представлена, исходя из определения работы, следующим
образом:
F
d
r
A
A
A
A
0
12
21
12
12
S
Интеграл по замкнутому контуру S :
F.
Fdr
S
называется циркуляцией вектора
Введение нового математического понятия векторного
анализа
позволяет
дать
еще
одно
определение
консервативной силы:
Если циркуляция какого-либо вектора силы равна нулю,
то эта сила консервативна.

40.

Неконсервативные силы. К ним относятся прежде
всего, так называемые, диссипативные силы:
трение, сила вязкого сопротивления. Эти силы
зависят не только от конфигурации тел, но и от
относительных скоростей движения.
Сила трения направлена против скорости тела,
поэтому работа сил трения отрицательна.
Отсюда определение:
Диссипативными называются такие силы,
полная работа которых при любых движениях в
замкнутой системе всегда отрицательна.

41.

Еще один вид неконсервативных сил гироскопические силы.
Эти силы зависят от скорости материальной точки и
перпендикулярны к этой скорости. Работа таких сил равна
нулю. Примером таких сил является сила Кориолиса:
По определению, элементарная работа силы Кориолиса:
dA FК dS FК dS Cos 0
Cos 0
2.
так как
, поскольку