Дифференцированный подход при обучении стереометрии

1. Дифференцированный подход при обучении стереометрии.

Система задач при
дифференцированном
обучении

2. Виды задач

Устный дифференцированный опрос:
задачи на формирование приёма синтез
задачи на формирование приёма анализ
Простые дифференцированные задания
(задачи на формирование приёма синтез через
анализ)
Задачи на формирование приёма анализ через
синтез (творческие)

3. Задачи на формирование приёма синтез

ЗАДАЧА 1.
На рисунке изображён прямой круговой конус:
1)
укажите равные отрезки на этом рисунке.
Как они называются?
2) какой отрезок принадлежит оси конуса?
3) какой отрезок является высотой конуса?
4) какая фигура лежит в основании конуса?
5) нарисуйте фигуры, полученные вращением
треугольников вокруг стороны АВ. Как эти фигуры
можно получить из конусов?
В
О
А
С

4.

1
3
ЗАДАЧА 2
Напишите формулу объёма кругового конуса с
высотой h = 5 и радиусом основания R = 3.
РЕШЕНИЕ: Изобразим данный конус. Запишем
формулу для вычисления объёма данного конуса
h
R
V
1
= 3 Sоснh.
V
1
=3
Тогда Sосн = R2. Следовательно
Тогда V =
Ответ: 47,1
R2h.
1
3,14
3
9 5 = 47,1

5.

ЗАДАЧА 3
Напишите формулу объёма прямого кругового конуса с
радиусом R = 3 и образующей b = 7.
РЕШЕНИЕ: Запишем формулу для вычисления объёма
V
1
= 3 SоснH.
С
H
В
А
R=3см
Вычислим Sосн = R2 = 3,14 9 = 28,26 см.
Вычислим длину высоты Н. Рассмотрим
треугольник АВС: он прямоугольный,
следовательно, по теореме Пифагора
Н = 49 9 = 2 10 . Тогда объём равен
V=
1
3
28,26 2 10
V = 18,84
10
Ответ: V = 18,84
10

6. Задачи на формирование приёма анализ

ЗАДАЧА 1.
Может ли образующая конуса равняться: а) высоте конуса б) радиусу
окружности основания? Ответы обоснуйте.
РЕШЕНИЕ: а) не может б) не может
Учащийся анализирует, что будет в случае равенства образующей и высоты?
Будет ли данная фигура конусом? Какая фигура получится? По мере
возникновения этих вопросов, ученик вспоминает, что называют
образующей конуса, какой отрезок является высотой. На основе этих
рассуждений, он получает вывод, что образующая и высота не могут быть
равны, так как образующая наклонена к плоскости основания конуса под
углом, который всегда меньше девяноста градусов. Это следует из того,
что конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг
одного из катетов. В этом случае образующая является гипотенузой и не
может равняться катету. Аналогичные рассуждения проводятся и в случае
б).

7. ЗАДАЧА 2.

Может ли в сечении конуса плоскостью получиться
равносторонний треугольник?
РЕШЕНИЕ: Да, может. Чтобы в сечении получить
треугольник, секущая плоскость должна проходить через
вершину конуса. Для получения равностороннего
треугольника необходимо, чтобы сечение было осевым,
тогда сторонами треугольника будут две образующие и
диаметр основания конуса.
АВ = ВС = АС
В
сечение АВС –
равносторонний
треугольник.
А
С

8. Примеры задач

ЗАДАЧА 3. Может ли осевым сечением конуса быть
прямоугольный треугольник?
ЗАДАЧА 4. Может ли в сечении конуса получиться
равнобедренный треугольник, если это сечение не
является осевым?
ЗАДАЧА 5. Как нужно пересечь конус плоскостью, чтобы в
сечении получился
а) круг
б) эллипс?

9. Простые дифференцированные задания (формирование приёма синтез через анализ)

ЗАДАЧА 1
Дан прямой круговой конус, в котором
1) высота равна 15 см и радиус основания 8 см, найти
образующую конуса;
2) высота 8 см, синус угла между образующей и высотой
равен 1/3, площадь осевого сечения 40 см2. Найти длину
образующей.
3) образующая равна 12 см и наклонена к плоскости
основания конуса под углом 300. Найти площадь основания
конуса.

10. РЕШЕНИЕ 1):

Дано: конус, Н = 15 см, R = 8 см
Найти: образующую l.
РЕШЕНИЕ: Изобразим чертёж. Найдём образующую АВ.
Рассмотрим АВО: прямоугольный, т.к. ВО – высота. Тогда
по теореме Пифагора АВ2 = АО2 + ОВ2, АВ = 82 152
АВ = 17 см.
Ответ: 17 см.
В
15см
Комментарий: В этой задаче, получая следствия из
А
8см
О
С
условия, мы приходим к ответу. При этом анализ состоит лишь в
том, что мы помним, что нам нужно найти. Это простейший
пример использования приёма «синтез через анализ», где анализ
не связан с выдвижением новой оригинальной математической
идеи.

11. РЕШЕНИЕ 2):

1
Дано: Н = 8 см, sin(АВО) = ,SАВС = 40 см2
3
Найти: АВ
РЕШЕНИЕ: из условий задачи следует, чтобы
найти АВ, необходимо знать
В
1
длину АО (анализ). SАВС = АС•ОВ,
2
следовательно
АС = 10 см
АС = 2ОА, тогда ОА = 5 см
Из треугольника АОВ: АВ2 = ОВ2 + ОА2
АВ = 4 5 см.
Ответ: 4 5 см
А
О
С

12. РЕШЕНИЕ 3):

Дано: АВ = ВС = 12 см, угол ВАС = 300
В
Найти: S
АВС
РЕШЕНИЕ: площадь сечения АВС можно найти
несколькими способами, например по формуле
1
1
S = 2 ОВ АС или S = 2 АВ АСsin(АВС).
300
А
О
Задача учащегося состоит в анализе пути
С
решения, то есть необходимо увидеть, что треугольник АВС –
равносторонний, тогда для нахождения площади используется
формула S = 34а
2
Комментарий: Это решение также относится к использованию приёма «синтез через анализ». Здесь идея
решения связана с тем, что для ответа на вопрос задачи, нужно увидеть путь нахождения элемента,
необходимого для ответа на вопрос задачи.

13. Задачи на формирование приёма анализ через синтез (творческие задачи)

Задачи на «анализ через синтез» также имеют свою
собственную иерархию по сложности. Для решение этого
типа задач, как правило, необходимо выдвинуть «новую
математическую идею» решения.
ЗАДАЧА 1.
Докажите, что если два конуса имеют равные высоты и
основания равной площади, то они имеют равные объёмы.

14. РЕШЕНИЕ:

Пусть конусы Ф1 и Ф2 имеют высоты, равные h, а основания площади S расположены в
одной плоскости α. Проведём плоскость, параллельную плоскости α, на расстоянии х
от неё, 0 ≤ х ≥ h. Тогда фигуры F1 и F2, получающиеся в сечениях конусов этой
плоскостью, подобны основаниям и коэффициент подобия k равен (h – x):h.
Следовательно, площади S1 и S2 фигур F1 и F2 соответственно выражаются
формулами S1 = k2 ·S. S2 = k2 ·S и, значит, равны. Из принципа Кавальери отсюда
следует, что равны и объёмы этих конусов.
Комментарий: при решении выдвигается так
называемая новая математическая идея,
что и представляет сложность для ученика.
Она используется дважды. Первый раз при
дополнительном построении плоскости,
пересекающеё конусы. Второй раз при
использовании принципа Кавальери.