Алгебра высказываний. Логические операции

1. Алгебра высказываний

Алгебра логики – раздел математической
логики, изучающий строение сложных
логических высказываний и способы
установления их истинности с помощью
алгебры высказываний.

2. Логические переменные

А=«Солнце светит для всех»
А истинно, А=1
В=«Все ученики любят информатику»
В ложно, В=0
С=«Некоторые из учеников любят информатику»
С истинно, С=1

3. Логические операции И, ИЛИ, НЕ

Сложное высказывание получается объединением
простых высказываний базовыми логическими
операциями.
А=«На улице холодно»
В=«На улице идет дождь»
С=«На улице холодно и идет дождь»
С=А И В
Логическая операция – способ построения сложного
высказывания из данных высказываний, при котором
значение истинности сложного высказывания
полностью определяется значениями истинности
исходных высказываний.

4.

Логическое отрицание инверсия
«переворачиваю»
Добавляется частица НЕ к сказуемому или используется
оборот речи "Неверно, что..."
А="У меня есть приставка Денди"
Инверсия А="У меня нет приставки Денди"
НЕ А, ¬А, NOT A
А
0
1
¬А
1
0
Инверсия высказывания
истина, когда высказывание
ложно, и ложна тогда, когда
высказывание истинно.

5.

Логическое умножение конъюнкция
«связываю»
Соединение двух высказываний с помощью союза И
А=«На автостоянке стоит «Мерседес»
В=«На автостоянке стоят «Жигули»
А конъюнкция В=
«На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули»
А И В, А٨В, А&В, А·В, А AND В
А
0
0
В
0
1
А٨В
0
0
1
1
0
1
0
1
Конъюнкция двух высказываний
истина тогда, когда оба
высказывания истины, и ложна
тогда, когда хотя бы одно
высказывание ложно.

6.

Логическое сложение дизъюнкция
«различаю»
Соединение двух высказываний с помощью союза ИЛИ
А=«На автостоянке стоит «Мерседес»
В=«На автостоянке стоят «Жигули»
А дизъюнкция В=
«На автостоянке стоят «Мерседес»или «Жигули»
А ИЛИ В, А۷В, А/В, А+ В, А OR В
А
0
0
В
0
1
А۷В
0
1
1
1
0
1
1
1
Дизъюнкция двух высказываний
ложна тогда, когда оба
высказывания ложны, и истина
тогда, когда хотя бы одно
высказывание истинно.

7.

Логическое следование импликация
«тесно связываю»
Соединение двух высказываний с помощью союза
оборота речи «Если …, то …»
А=«На улице дождь»
В=«Асфальт мокрый»
А импликация В=
«Если на улице дождь, то асфальт мокрый»
А → В, А=>В
А
0
0
В
0
1
А→В
1
1
1
1
0
1
0
1
Импликация двух высказываний
ложна тогда, когда из истинного
высказывания следует ложное.

8.

Логическое равенство эквивалентность
«равноценное»
Соединение двух высказываний с помощью союза
оборота речи «…тогда и только тогда, когда …»
А=«Число делится на 3 без остатка»
В=«Сумма цифр числа делится на 3»
А эквивалентно В=«Число кратно 3 тогда и только
тогда, когда сумма его цифр делится на 3»
А ≡ В, А В
А
0
0
В
0
1
А≡В
1
0
1
1
0
1
0
1
Эквивалентность двух
высказываний истина тогда,
когда оба высказывания
истинны или ложны.