Similar presentations:
Действительные числа
1. Действительные числа
02.09.132. Числовые множества
ОбозначениеНазвание множества
N
Множество натуральных
чисел
Z
Множество целых чисел
Текст
Q=m/n
I=R/Q
R
Множество рациональных
чисел
Множество
иррациональных чисел
Множество вещественных
чисел
3. Множество натуральных чисел
• Натуральные числа - это числа счета.• N={1,2,…n,…}.
• Заметим, что множество натуральных чисел
замкнуто относительно сложения и умножения, т.е.
сложение и умножение выполняются всегда, а
вычитание и деление в общем случае не
выполняются
n m
n, m N {
n m
N
4. Множество целых чисел.
Введем в рассмотрение новые числа:
1) число 0 (ноль),
2) число (-n), противоположное натуральному n.
При этом полагаем: n+(-n)=(-n)+n=0,
-(-n)=n.
Тогда множество целых чисел можно записать так:
Z ={…,-n,…-2,-1,0,1,2,…,n,…}.
Заметим также, что:
Это множество замкнуто относительно сложения, вычитания
и умножения, т.е.
Из множества целых чисел выделим два подмножества:
{2 * k | k Z}
1) множество четных чисел
{2 * k 1 | k Z}
2) множество нечетных чисел
5. Множество рациональных чисел.
• Множество рациональных чисел можно представить в виде:m
Q { m Z , n Z}
n
В частности, m
Таким образом,
m Z
1
Z Q
Множество рациональных чисел замкнуто относительно
сложения, вычитания, умножения и деления (кроме случая
деления на 0).
p q,
p * q,
p, q Q { p q, Q
p
,q 0
q
6.
Но в множестве рациональных чисел нельзя, например, измерить
гипотенузу прямоугольного треугольника с катетам a 1, b 1 .
2
2
По теореме Пифагора гипотенуза будет равна c a b 2 .Но число
т
не будет рациональным, так как
ни для каких m и n.
2
n
Нельзя решить уравнение x 2 2 0 .
Нельзя измерить длину окружности и т.д.
Заметим, что всякое рациональное число можно представить в виде
конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
3
1
5
2
1
3 3 0.125; 0.(285714); 0.(3)
8 2 *5
7
3
7. Множество иррациональных чисел.
Числа, которые представляются бесконечной непериодическойдробью, будем называть иррациональными.
Множество иррациональных чисел обозначим I.
Для иррациональных чисел нет единой формы обозначения.
Отметим два иррациональных числа, которые обозначаются
буквами – это числа
и е.
8. Число «пи»
• Отношение длины окружности кдиаметру есть величина постоянная,
равная числу
d
1
2 r
d
длина
9. Число е.
Если рассмотреть числовую последовательность:
22 43 54
1n
2, ( ) , ( ) , ( ) ,..., (1 ) ,...
3 3 4
n
с общим членом последовательности
1 n
xn (1 ) ,
n
то с ростом п значения будут возрастать, но никогда не будет больше 3.
Это означает, что последовательность ограничена.
Такая последовательность имеет предел, который равен числу е.
1
e lim(1 ) 2,8
n
n
10.
• Известно, что мощность иррациональных чисел большемощности рациональных, т.е. Иррациональных чисел
«больше», чем рациональных. Кроме того, как бы ни были
близки два рациональных числа, между ними всегда есть
иррациональное, т.е.
p, q Q, r I : p r q
11. Множество вещественных (действительных) чисел.
• Множество вещественных чисел – это объединениемножества рациональных чисел.
R Q I
• Вывод:
N
Z
I
N Z Q R
Q
R
12. Определение модуля вещественного числа
1) Пусть на числовой оси точка А имеет координату а.Расстояние от точки начала отсчета О до точки А
называется модулем вещественного числа а и
обозначается |a|.
A
O
A
|a| = |OA|
a
a
2) Раскрытие модуля происходит по правилу:
a , a 0
a
a , a 0
R’
13.
Например:| 2,5 | 2,5
1
1
1
| 3 | ( 3 ) 3
3
3
3
Замечание.
Определение модуля можно расширить:
| f ( x) |
f ( x), f ( x) 0
f ( x), f ( x) 0
где f (x) функция аргумента x
Пример. Раскрыть знак модуля.
| 3 x 1 |
3x 1, 3x 1 0
(3x 1), 3x 1 0
| 3x 1 |
1
3 x 1, x
3
1
(3 x 1), x
3
14. Основные свойства модуля
1)2)
3)
4)
| a | 0, при этом | a | 0 a 0,
5)
a |a|
| |
b |b|
6)
| a | | a |
| a | | a |
| a b | | a | | b |
| a b | | a | | b |
n
n
15. Решение примеров с использованием свойств модуля
Пример 1.
Вычислить
| 2 x 3 |, если x 1; x 5; x 1,5
Пример 2. Раскрыть знак модуля
Пример 3.
Вычислить
1)
1
| 2 x 1 | | 3 2 x |, если x (1 , )
2
(5 3x) ( x 5) , если x 0,1
2
2)
3)
4
| 4 7 x |, если x
7
2
x 6 x 9 4 x 12 x 9, если x , 2
2
2