Решение комбинаторных задач

1. МБОУ Крюковская СОШ 1.04.2013г

Выполнила : Скрябина В.В
МБОУ Крюковская СОШ
1.04.2013г

2.

Плакаты с высказываниями:
"Вероятность есть утонченный здравый
смысл" (Лаплас)
"Случай всегда приходит на помощь
тем, кто борется до победы" (восточная
пословица)
"Знание -самое превосходное из
владений. Все стремятся к нему ,само
же оно не приходит". (Ал-Бируни)

3.

Задача №1Сколькими способами можно составить расписание
одного учебного дня из 5 различных уроков ?
а) 30;
б)100;
в)120:
г) 5.
Задача решается применением комбинаторного правила умножения.
Пусть 5 различных уроков будут: математика , русский язык, рисование,
английский язык , физическая культура . Составим таблицу. На первое место
можно поставить любой из 5 предметов. На второе место любой из оставшихся 4.
На третьем месте любой из оставшихся после первых двух выборов, т. е. 3 и т. д.
Сосчитаем сколько всего вариантов составления расписания существует.
Р5 = 5!=1·2·3·4·5=120
предмет
Математика
Русский язык
Рисование
Английский язык
Число вариантов
5
4
3
2
Физическая
культура
1
Ответ: 120 способов.

4.

Задача№2.В 9 «б» классе 32 учащихся. Сколькими способами
можно сформировать команду из 4 человек для участия в
математической олимпиаде ?
Из 32 человек первого спортсмена можно выбрать 32 способами, 2- го –
31 способами, 3- го – 30 способами, 4 го – 29 способами. Найдём число
размещений без повторений из 32 учеников по 4, но среди них будет
много лишних. Например, выборка (Сережа, Денис, Коля, Марина)
совпадет с выборками (Марина, Коля, Денис, Сережа), (Марина, Денис,
Сережа Коля) и так далее. Сколько же будет совпадений на каждую
четверку? Конечно, оно равно числу перестановок из 4-х элементов.
Каждая четверка повторяется 24 раза! Значит количество вариантов надо
уменьшить в 24 раза.то всего будет способов (32· 31·30· 29 ): (4·3 2 · 1 ) =
8630 : 24 = 35960
32
32· 31·30· 29 · 28 · 27 · … · 1
863040
С32 4= ------------ =------------------------------------------------ =----------- = 35960
4! (32-4) !
4·3 2 · 1 · 28 · 27 · … · 1
24
а) 128 ; б)35960 ; в)36 ; г) 46788 .
Ответ: 35960

5.

ЗАДАЧА №3.Сколько существует различных двузначных чисел
в записи которых можно использовать цифры 1; 2;3; 4; 5; 6, если
цифры в числе должны быть различными?
а) 10 ;
б) 60 ;
в)20;
г) 30 .
Решение. Для выбора формулы выясняем, что для чисел,
которые мы
будем составлять ,порядок учитывается и не все
элементы одновременно выбираются. Значит, это соединение –
размещение из 6 элементов по 2. Воспользуемся формулой для
A62 = 6(6 – 1) = 6 · 5 = 30
числа размещений:
02
35
100
95
22
14
91
72
85
29
52
50
80
41
35
68
19
30
72
18
Ответ: 30.
47
11
06
07
67
08
90
01
46
96
99
28
91
84
82
100
10
25
73
51
97
93
19
52
16
06
19
64
13
20
78
39
05
30
60
64
05
53
31
15
78
05
64
28
24
36
81
57
38
51
88
54
79
09
71
60
06
86
96
11
91
50
13
09
37
98
74
55
68
12
03
01
58
93
86
87
66
76
92
38

6.

Задача №4.
Вычислить : 6! – 5!
Символ n! ( называется факториал ) – сокращённая запись
произведения: 1 · 2 · 3 · … · ( n – 1 ) ·n ,
т.е.
6! – 5! =
1 · 2 · 3 ·4 · 5 · 6 - 1 · 2 · 3 ·4· 5 =
= 120 · 5 =600.
а) 600 ;
б) 300 ;
в) 1;
г) 1000 .
Ответ: 600

7.

Задача №5.
В футбольной команде 11 человек. Необходимо
выбрать капитана и его заместителя. Сколькими
способами это можно сделать ?
а) 600 ;
б) 300 ;
в) 110;
г) 1000 .
Решение: Капитаном может стать любой из 11 футболистов. На
роль его заместителя могут претендовать 10 оставшихся человек.
Таким образом, всего есть С211 = 11 • 10 = 110 разных
благоприятных вариантов выборов
Ответ : 110.

8.

Задач №6 Брошены две игральные кости. Найти вероятность того,
что: а) выпавшие очки не 5 и не 6.
Решение:
Из всех исходов (36) возьмём только те числа, в
которых нет чисел 5 или 6, т.е. благоприятные условия. Остальные
вычеркнем. Таких чисел 16 : 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32,
33, 34, 41, 42, 43, 44 .
1
2
3
4
5
6
1
11
12
13
14
15
16
2
21
22
23
24
25
26
3
31
32
33
34
35
36
4
41
42
43
44
45
46
5
51
52
53
54
55
56
6
61
62
63
64
65
66
16
4
Р(А) = ------------- = ------36
9
Ответ: 4/9.

9.

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того,
что: б) выпавшие очки не 5 и не 6 одновременно.
Решение:
Таких чисел из всех (36 случаев) возможных только 2 : 55 и 66, остальные
вычеркнем.
1
2
3
4
5
6
1
11
12
13
14
15
16
2
21
22
23
24
25
26
3
31
32
33
34
35
36
4
41
42
43
44
45
46
5
51
52
53
54
55
56
6
61
62
63
64
65
66
2
1
Р(А) = -------- = ------36
18
Ответ:
1
------18

10.

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того,
что: в) выпали не 2 чётных числа очков;
Из всех ( 36) возможных вариантов вычеркнем те, которые содержат
2 чётных числа очков : 22,24,26,42,44,46,62,64,66. Остальные варианты будут
благоприятные (36 – 9 = 27).
1
2
3
4
5
6
1
11
12
13
14
15
14
2
21
22
23
24
25
26
3
31
32
33
34
35
36
4
41
42
43
44
45
46
5
51
52
53
54
55
56
6
61
62
63
64
65
66
27
3
Р(А) = ------------- = --------- = 0,75
36
4

11.

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того,
что: г ) Не выпали чётное с нечётным числом очков
Решение : Из всех возможных случаев вычеркнем те, которые
содержат одно чётное, другое - нечётное число. Таких чисел
18 : 12, 14, 16, 21 , 23 , 25,32 ,34, 36, 41, 43,45, 52, 54, 56, 61, 63,
65. Остальные 36 – 18 =18 случаев будут являться
благоприятными
1
2
3
4
5
6
1
11
12
13
14
15
16
2
21
22
23
24
25
26
3
31
32
33
34
35
36
4
41
42
43
44
45
46
5
51
52
53
54
55
56
6
61
62
63
64
65
66
18
1
Р(А) = ------------- = --------- = 0,5
36
2
Ответ: 0,5

12.

Залача №7 Водитель дальнобойщик отправился в рейс «
Москва –Екатеринбург. Во время рейса планирует сделать
ровно 5 остановок в городах . где живут его друзья.
Однако на пути следования ему встретятся 18 таких городов ,в
том числе Нижний Новгород, где живёт Вася – лучший друг.
Сколькими различными способами дальнобойщик может
выбирать города для остановки, если Нижний Новгород
обязательно должен быть среди них.
Решение: Так как Нижний Новгород уже выбран, то осталось
выбрать 4 остановки из 17 .Порядок остановок не имеет
значение . Следовательно , находим размещения без
повторения : Первым членом команды можно выбрать
любого из17, вторая- любая из оставшихся 16,
третья – из оставшихся15 и ,наконец, четвёртая
– из оставшихся 29. По правилу произведения
общее число способов выбора 4- х человек
равна :
4
Ответ: 57120
17
А
= 17 · 16 · 15 ·14 =57120

13.

Задача №8
В холодильнике лежит 8 видов кошачьего корма в консервах и 4 вида
молока. Ежедневно рацион кота состоит из 2 видов корма и 2 видов молока.
Сколькими различными способами можно накормить кота , если в рацион обязательно
должно входить молоко марки «Рузское», стоимостью 87 рублей за 1 литр.
Решение : Есть 8 видов кошачьего корма, из которых надо
выбрать 2 вида . Число сочетаний можно найти
по формуле:
Р(А) = С82
8!
8· 7·6·5 · 4 · 3·2· 1
= ----------------= ---------------------------- =28
2! (8 - 2) ! 2 · 1 ·6·5 · 4 · 3·2· 1
Далее : есть 4 вида молока, из которых надо выбрать 2
вида . Число сочетаний можно найти по формуле:
Р(Б) = С42
4!
4 · 3·2· 1
= -------- = ----------------- =6
2! (4-2) ! 2 · 1 · 2 · 1
Общее количество комбинаций равно:
Р(А) · Р(Б) = 28 · 6 = 168
Ответ : 168