Прикладная математика в экономике и бизнесе

1. Прикладная математика в экономике и бизнесе

Занятие 1. Понятие вероятности.
Практические приемы оценки
вероятности
Туктамышева Лилия Мухаммадиевна

2. Теория вероятностей

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая
закономерности, присущие массовым случайным явлениям.
Предметом теории вероятностей являются математические
модели случайных (стохастических) экспериментов. При этом
под случайным экспериментом понимается эксперимент, исход
которого нельзя определить однозначно условиями проведения
опыта. При этом предполагается, что сам эксперимент может
быть повторен (хотя бы в принципе) любое число раз при
неизменном комплексе условий, а исходы эксперимента
обладают статистической устойчивостью.
Примеры
случайных
экспериментов:
однократное
подбрасывание монеты; бросание игральной кости; определение
числа вызовов, которое поступит за определенный промежуток
времени на телефонную станцию; измерение времени
безотказной работы прибора; участие в лотерее, стрельба по
плоской мишени с большого расстояния и т. п.
2

3. Теория вероятностей

Исходы экспериментов, подобных перечисленным, являются
случайными. Однако, несмотря на это, на практике для них уже
давно была замечена следующая закономерность: при проведении
большого количества испытаний относительная частота того или
иного исхода (это отношение числа появлений этого исхода к
общему числу экспериментов) стабилизируется, т.е. все меньше
отличается от некоторого числа, характеризующего меру
«случайности» и называемого вероятностью исхода. В этом
состоит суть статистического определения вероятности. Так,
при многократном бросании игральной кости «единица» выпадает
в среднем в каждом шестом случае. Свойство статистической
устойчивости относительной частоты позволяет, не имея
возможности предсказывать исход отдельного эксперимента,
достаточно точно прогнозировать свойства явлений, связанных с
рассматриваемым экспериментом (опытом).
Итак, цель теории вероятностей – это осуществление
прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих
явлений, их контроль, ограничение сферы действия случайности. 3

4. КОМБИНАТОРИКА

КОМБИНАТОРИКА – это раздел математики, в
котором изучаются вопросы о том, сколько различных
комбинаций, подчиненных тем или иным условиям можно
составить из заданного множества объектов.
Пусть дано множество из n различных элементов, из
него случайным образом выбираются m элементов 0 m n .
Эти m элементов могут различаться:
составом элементов;
порядком следования элементов;
возможностью повтора элементов;
объемом подмножества.
4

5. КОМБИНАТОРИКА

ПЕРЕСТАНОВКАМИ из n элементов называются комбинации,
составленные из всех n элементов данного множества и отличающихся
только порядком их расположения (перестановки частный случай).
Без повторений: Pn n ! 1 2 ... ( n 1) n
a - число перестановок равно 1;
a, b - число перестановок равно 2 ( ab, ba );
a, b, c - число перестановок равно 6 ( abc, acb, bac, bca, cab, cba ).
~
С повторениями: Pn (n1 , n2 ,..., nk )
n!
n1! n2! ...nk !
(если множество из n элементов разбивается на k попарно
непересекающихся неупорядоченных подмножеств, состоящих из n1 , n2 ,..., nk
элементов (причем n1 n2 ... nk n ), т.е. задано множество из n
элементов, причем первый элемент повторяется n1 раз, второй - n2 раза и
т.д.)
5

6. КОМБИНАТОРИКА

Задача
Сколько различных перестановок можно образовать из слова ЗЕБРА (5 букв).
Число всех возможных перестановок
Рп = п!=5!=1*2*3*4*5=120 перестановок из слова ЗЕБРА.
Задача
Сколько предложений можно составить из всех слов: сегодня, дождь, идет.
Решение: P3 3! 1 2 3 6
Задача
Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно
составить из 7 различных фамилий?
Решение: P7 7! 1 2 3 4 5 6 7 5040
6

7. КОМБИНАТОРИКА

Задача
Найти число способов, которыми можно вписать в один ряд 6 плюсов и 4
минуса.
Решение: Имеем множество из 10 элементов, состоящее из 6 элементов 1го типа и 4 элементов 2-го типа (++++++ ----), следовательно, число
n!
10!
~
способов будет равно Pn
210 .
m1! m2 ! 6! 4!
Задача
Сколько различных перестановок можно образовать из всех букв слова
«ПЕРЕСТАНОВКА»
Решение: данное множество состоит из 12 элементов, причем:
«П» - m1 1 ; «Е» - m2 2 ; «Р» - m3 1; «С» - m4 1 ; «Т» - m5 1; «А» - m6 2 ;
«Н» - m7 1 ; «О» - m8 1; «В» - m9 1; «К» - m10 1.
n!
~
Число перестановок элементов данного множества равно: Pn
m1! m2 ! ...mk !
=
12!
12!
.
1!2!1!1!1!2!1!1!1!1! 4
7

8. КОМБИНАТОРИКА

Принцип умножения. Пусть требуется выполнить одно за
другим k действий (подняться на гору, составить расписание,
назначить дежурных…). Пусть при этом первое действие можно
выполнить n1 способом, второе n2 способами и т.д. Тогда все k действий
можно выполнить
n1* n2*…* nk способами.
Пример 1. На гору ведут 4 дороги. Сколькими способами можно
подняться и спуститься с горы?
4*4=16 способами
Пример 2. На гору ведут 4 дороги. Сколькими способами можно
подняться и спуститься с горы, если подъем и спуск надо осуществлять
разными дорогами?
4*3=12 способами.
8

9. КОМБИНАТОРИКА

РАЗМЕЩЕНИЯМИ из n элементов по m называются комбинации
из m элементов множества, содержащего n различных элементов,
отличающихся либо составом элементов, либо их порядком (либо и
тем и другим), т.е. 1, 2 и 2,1 - разные подмножества
(упорядоченные m - элементные подмножества n - элементного
множества, которые отличаются как составом элементов, так и
порядком из следования).
Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1)
n!
- схема без возврата
(n m)!
~
Anm n m - схема с возвращением
Свойства: An1 n An0 1 0! 1 Ann Pn
9

10. КОМБИНАТОРИКА

РАЗМЕЩЕНИЯ
a - число размещений равно 1;
a, b - 2 размещения по одному элементу ( a, b ); 2 размещения по два
элемента ( ab, ba );
a, b, c - 3 размещения по одному элементу ( a, b, c ); 6 размещений по
два элемента ( ab, ac, bc, ba, ca, cb ); 6 размещений по три элемента
abc, acb, bac, bca, cab, cba .
10

11. КОМБИНАТОРИКА

Задача
Имеются цифры 1,3,5,8.
1. Сколько различных двухзначных чисел можно составить?
A42
4!
12 или 3*4
(4 2)!
2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить?
A44
4!
P4 4! 24
(4 4)!
Задача
Имеется множество
составить?
~4
A3 34 81
2,4,6 .
Сколько четырехзначных чисел можно
11

12. КОМБИНАТОРИКА

СОЧЕТАНИЯМИ из n элементов по m называются
неупорядоченные наборы из
элементов множества,
m
содержащего n различных элементов, отличающихся только
составом элементов ( m - элементные подмножества n элементного множества, которые отличаются только составом
элементов (порядок следования не имеет значения).
Anm
n!
- схема без возврата
C
Pm m !(n m)!
m
n
(n m 1)!
~
- схема с возвращением
Cnm Cnm m 1
m! (n 1)!
Свойства: Cn0 C00 1 Cn1 n Cnm Cnn m
12

13. КОМБИНАТОРИКА

СОЧЕТАНИЯ
a - число сочетаний равно 1;
a, b - 2 сочетания по одному элементу
( a, b ) и 1 сочетание по два
элемента ( ab );
a, b, c - 3 сочетания по одному элементу ( a, b, c ); 3 сочетания по
два элемент а ( ab, bc, ac ) и 1 сочетание по три элемента ( abc ).
13

14. КОМБИНАТОРИКА

Задача
В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в
финал выходят только трое. Сколько может быть различных троек
финалистов?
Решение: Поскольку порядок финалистов не важен, то C103
10!
120
3!(10 3)!
Задача
В группе 25 человек. Выбирается актив группы из 3-х человек. Сколькими
способами он может быть выбран?
Решение: в данном случае не важен порядок, ищем число сочетаний из 25 по
5: C255
25!
2300 .
5!22!
14

15. КОМБИНАТОРИКА

Задача
Сколько слов можно образовать из букв слова «ФРАГМЕНТ», если
слова должны состоять:
а) из 8 букв Решение: A88 P8 8!
б) из 7 букв Решение: A87
8!
8!
(8 7)!
в) из 3 букв Решение: A83
8!
336
(8 3)!
Задача
На экзамен по очереди входят 5 человек. Сколькими способами эти 5
человек могут войти в класс?
Решение: P5 5!
15

16. КОМБИНАТОРИКА

Задача
1 сентября на первом курсе запланировано 3 лекции по разным
дисциплинам, всего на первом курсе 10 предметов. Студент, не успевший
ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Сколько вариантов
расписания он себе составит?
A103 10 9 8 720
16

17. КОМБИНАТОРИКА

Задача
В классе 18 учеников. Для дежурства нужно выбрать двоих. Сколько
вариантов дежурных может быть?
Нас интересует только состав, а порядок не играет роли, то есть нам
все равно будет дежурить Маша и Саша или Саша и Маша. Это одно и то же.
Если мы умножим 18 на 17, то учтем также варианты (Саша-Маша) (МашаСаша). Поэтому разделим результат на два: Число сочетаний
(18*17)/2=153
Задача
В классе 18 учеников. Нужно назначить старосту и его заместителя.
Сколько вариантов назначения старосты и его заместителя? Здесь нас
интересует не только состав, но и порядок. Маша –староста, Сашазаместитель или Саша – староста, Маша заместитель. Поэтому ответ
18*17=306 (число размещений)
17

18. КОМБИНАТОРИКА

Задача
Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?
Решение:
В разряд сотен можно записать любую из
цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или
9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть
трёхзначным.
А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10
цифр:
По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно
заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас
устраивают 2 цифры.
Итого, существует:
делятся на 5.
трёхзначных
чисел,
которые
18

19. Вероятность

Вероятностью события А при проведении некоторых испытаний
называют отношение числа исходов m, в результате которых наступает
событие А, к общему числу исходов n:
P(A)=m/n
19

20. Вероятность

Задача
Абонент забыл последние 2 цифры своего номера телефона, но
помнит, что цифры не повторялись. Какова вероятность, что случайно
набирая последние две цифры, мы дозвонимся до этого абонента?
1/(10*9)=1/90
Задача
Абонент забыл последние 2 цифры своего номера телефона.
Какова вероятность, что случайно набирая последние две цифры, мы
дозвонимся до этого абонента?
1/(10*10)=1/100
20

21. Вероятность

Задача
Из костей для игры в домино наугад выбрали одну и подсчитали
суммарное число очков. Какова вероятность того, что оно равно 8.
Вероятность найдем как отношение числа благоприятствующих
событий m к общему числу событий n.
Найдем общее число событий. Кость домино состоит из двух
частей, на каждой части очки могут быть от нуля (пустое поле) до 6.
Всего получаем 0,1,2,3,4,5,6 семь цифр. Семь костей содержит дубли. В
остальных костях пары цифр, отличающихся составом, а порядок не
играет роли. Варианта 2-3 и 3-2 одновременно нет. Значит, найдем как
(7*6)/2=21. Итого костей будет 7+21=28 штук.
Число благоприятствующих событий: 2-6, 3-5, 4-4. Итого 3 кости.
Ответ: 3/28.
21

22. Вероятность

Задача
В турнире играют 8 команд из разных городов. Какова вероятность,
что команда из Оренбурга займет 1 место?
Присуждается 3 места (1,2,3-е места), порядок и состав имеют
значение
Вероятность=1/(8*7*6)
Задача
В турнире играют 8 команд из разных городов. Какова вероятность,
что команда из Оренбурга попадет на пьедестал почета?
Нас интересует только попадание в тройку. Вероятность= 3/(8*7*6)
22

23. Вероятность

Задача
Из хорошо тасованной колоды карт, содержащей 52 карты, наугад
выбирается 1 карта. Найти вероятность того, что она окажется:
( n 52 m 13 P( A)
-
бубновой масти
-
тузом ( n 52 m 4 P( A)
13
)
52
4
)
52
26
)
52
- либо туз, либо король, либо дама, либо валет, либо десятка
20
n 52 m 4 5 20 P( A)
52
черной масти ( n 52 m 26 P( A)
23

24. Вероятность

Задача
Бросаются две игральные кости. Какова вероятность, что:
- Сумма
n 36
- Сумма
n 36
- Сумма
n 36
очков
равна
3
1, 2 2,1 2
1
m 2 P( A)
36 18
выпавших
очков
равна
4
1,3 3,1 2, 2 3
1
m 3 P( A)
36 12
выпавших очков равна 6, а произведение 5 - 5,1 1,5 2
1
m 2 P( A)
36 18
выпавших
24

25. Вероятность

Задача
Бросаются две игральные кости. Какова вероятность, что:
На одной кости 5, а на другой меньше 5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
X
X
X
X
5,1 5, 2 5,3 5, 4
1,5
2,5
3,5
4,5
5
X
X
X
X
n 36 m 8 P( A)
6
8 2
36 9
25

26. Вероятность

Задача
Бросаются две игральные кости. Какова вероятность, что:
- Выпадет
,
1
1 2 -
дубль
6 1
n 36 m 6 P( A)
36 6
- Выпадет
не
дубль
-
n 36 m 30 P( A)
30 5
36 6
,
или
1 5
P( A) 1 P( A) 1
6 6
26

27.

Следующее занятие школы-семинара на
тему: «Решение прикладных задач с
использованием основных свойств
вероятности»
Лектор: к.э.н., доцент
Чудинова Ольга Сергеевна
Дату и время можно уточнить по тел.
89128432428 или на нашей странице
https://vk.com/abiturient_fef_pm
27