Расчёт погрешностей результатов экспериментов

1. Расчёт погрешностей результатов экспериментов

2. Измерительные приборы

3. Измерительные приборы

4.

Приборная погрешность
Aпр – цена наименьшего деления (ЦНД)
Aпр = 1 см
Aпр = 0,05 мм
Aпр = 1
Aпр = 1 мм

5.

Приборная погрешность
Aпр – цена наименьшего деления (ЦНД)
или единица младшего разряда.
Aпр = 0,1 г
Aпр = 2 мА
Aпр = 100 В
Aпр = 0,05 А

6.

Повторные измерения
Результаты измерений величины A в одинаковых
условиях:
a1, a2, ..., аi, ...,an ; где n — число измерений
Среднее статистическое:
1
a
n
n
ai
(1)
i 1
Наилучшее приближение измеряемой величины:
A a
(2)

7.

Погрешность результата ?
Среднеквадратичное
отклонение
(стандартный разброс)
среднего значения
n
(a a )
2
i
S0
(3)
i 1
n(n 1)
A a S0 ???
(4)

8.

Коэффициент Стьюдента t ,
.
= n – 1.
Доверительная вероятность
Число степеней свободы
Доверительная вероятность
0,9
0,95
0,99
2
3
4
2,92
2,35
2,13
4,30
3,18
2,78
9,93
5,84
4,60
5
6
7
2,02
1,94
1,90
2,57
2,45
2,37
4,03
3,71
3,50
8
9
1,86
1,83
2,31
2,26
3,36
3,25

9.

Случайная погрешность
Aсл t , n 1S0
(5)
Абсолютная погрешность
A
Aсл
2
Aпр
2
(6)
Относительная погрешность
А
A
a
(7)

10.

Косвенные измерения
Z f ( A, B, C ,...)
A, B, C, … - непосредственно измеряемые
величины.
Пример 1: Измерение жесткости пружины
Непосредственно измеряется:
1) удлинение пружины L
2) масса подвешенного груза m
Жесткость:
k = mg / L
Погрешностями величин L
и m являются приборные погрешности.
(8)

11.

Косвенные измерения
Пример 2: Измерение ускорения свободного падения
Непосредственно измеряется:
1) высота, с которой падает тело h
2) время падения тела t
Ускорение свободного падения:
g = 2h / t2
Время падения t измеряется несколько раз, вычисляется
среднее и среднеквадратичное отклонение, абсолютная
случайная погрешность t.

12.

Косвенные измерения
Z f ( A, B, C ,...)
(8)
Наилучшее приближенное значение
Z f A , B , C ,...
(9)
где средние значения вычисляются по формуле (1):
1
A
nA
nA
i
ai
1
B
nB
nB
bi
i
1
C
nC
nC
c
i
i

13.

Погрешности косвенных измерений
Абсолютная погрешность
f
Z
A
2
A A ,
B B ,
C C ,...
2 f
( A)
B
2
A A ,
B B ,
2 f
( B)
C
C C ,...
2
A A ,
( C ) 2 ...
B B ,
C C ,...
(10)
A, B, C,… - абсолютные погрешности величин
A, B, C,… соответственно,
A , B , C ,... средние значения этих величин
Относительная погрешность
Z
Z
Z
(11)

14.

Частный случай 1.
Величина Z является суммой или разностью
непосредственно измеряемых величин A и B
Z=A+B
или
Z=A– B
Абсолютная погрешность:
Z ( A) ( B)
2
2
(12)
Относительные погрешности
Z
( A) 2 ( B) 2
A B
( A) 2 ( B) 2
Z
A B

15.

Пример 3: Измерение суммарной массы двух грузов
m = m1 + m2
Непосредственно измеряются массы:
m 1 и m2
Абсолютная погрешность
суммарной массы :
m ( m1) ( m2 )
2
2
m1 и m2 - абсолютные погрешности масс m1 и m2

16.

Частный случай 2.
Величина Z является произведением или отношением
непосредственно измеряемых величин A и B
Z = A B или Z = A/B
Относительная погрешность
Z
2
A
2
B
(13)
Абсолютная погрешность:
Z Z Z
Z A B
(14)
Z A/B

17.

Пример 1: Измерение жесткости пружины
Жесткость:
k = mg / L
Относительная погрешность жесткости
k
2
m
2
g
2
m, g, - относительные погрешности массы m,
ускорения свободного падения g, удлинения пружины L.
За погрешность g берём погрешность округления.
Абсолютная погрешность:
k k k

18.

Частный случай 3.
Величина Z является степенью измеряемой величины A
Z = AP
Относительная погрешность
Z P A
Абсолютная погрешность:
Z Z Z
Z AP
(15)

19.

Пример 4: Измерение объёма шара
Непосредственно измеряется
диаметр шара d
Объём шара:
3
V d
6
Число можно задать с требуемой точностью
Относительная погрешность объёма:
V 3 d
d
d - относительная погрешность диаметра d
d
где d - абсолютная погрешность диаметра
Абсолютная погрешность объёма:
V V V

20.

Значащие цифры числа
Все верные цифры, начиная с первой ненулевой слева.
25 ; 0,0187 ; 41,300 ; 0,000460
Погрешность числа не превышает единицы последнего
(младшего) разряда среди значащих цифр.
1;
0,0001 ;
0,01 ;
0,000001

21.

Значащие цифры размерных величин
Количество значащих цифр не зависит от единицы
измерения.
25 мм = 0,025 м = 25000 мкм = 0,25 см
Значащие цифры отмечены красным цветом.

22.

Значащие цифры при действиях с числами
Сложение
1,36 + 0,354 = 1,714 1,71
Умножение
2,8 12,3 = 34,44 34

23.

Количество верных значащих цифр в результате
не может быть больше, чем максимальное
количество значащих цифр в исходных данных.
Количество верных значащих цифр в результате
может стать равным минимальному числу
значащих цифр в исходных данных.
После вычисления на калькуляторе или на
компьютере результат требуется округлить до
допустимого количество значащих цифр.

24.

Линейная аппроксимация
Функция вида
y = k x , где k – постоянный коэффициент.
Пример: Закон Ома для участка цепи.
I = U/R
Необходимо найти коэффициент k.

25.

В эксперименте измеряется N пар числовых значений:
xk , yk ; k = 1, … N .
x1
x2
…
…
xN
y1
y2
…
…
yN
N
xk yk
Наилучшее
приближение
коэффициента:
k
k 1
N
k 1
xk2

26.

Абсолютная погрешность коэффициента:
N
k t , N 1
( yk kxk )
2
k 1
N
( N 1)
k 1
2
xk