Двугранный угол

1. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ

Григорук Е.О.

2. Основные задачи урока:

• Ввести понятие двугранного угла и его
линейного угла
• Рассмотреть задачи на применение этих
понятий

3.

Постройте в заданной плоскости еще одну
прямую b.
Как она может располагаться относительно
прямой а?
Сколько таких случаев?
пересекаются
параллельны

4.

Разбейте данные рисунки по
группам,
найдя
какой–либо
признак для разделения.
1
4
2
3
5
6

5.

1. Определить взаимное
расположение прямых
АВ1 и DC.
B1
A1
C1
D1
B
A
C
D

6.

Каково взаимное положение прямых
1) AD1 и МN; 2) AD1 и ВС1; 3) МN и DC?
С1
B1
А1
D1
В
С
M
А
N
D

7. Определение:

Двугранным углом называется
фигура, образованная двумя
полуплоскостями с общей
граничной прямой.

8.

Определение двугранного угла
.
Полуплоскости, образующие двугранный угол,
называются его гранями.
Общая граница этих полуплоскостей – ребром
двугранного угла.
ребро
а
грани

9. Обозначение двугранного угла.

С
D
В
А
Угол CBDA

10.

В обыденной жизни, форму двугранного угла имеют

11.

• Укажите все двугранные углы

12. Примеры двугранных углов:

13.

Аналогично тому , как и на плоскости , в пространстве
определяются смежные и вертикальные двугранные
углы.
β
β
а
β1
1
γ
а

14. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

AF ⊥ CD
BF ⊥ CD
AFB-линейный угол двугранного
угла ACDВ

15. все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Рассмотрим два линейных
угла АОВ и А1ОВ1. Лучи ОА и
ОА1 лежат в одной грани и
перпендикулярны ОО1,
поэтому они сонаправлены.
Лучи ОВ и ОВ1 также
сонаправлены.
Следовательно,
∠АОВ=∠А1ОВ1 (как углы с
сонаправленными сторонами).

16.

Способ нахождения (построения) линейного угла.
1. Найти ( увидеть) ребро и грани двугранного угла
2. В гранях найти направления ( прямые)
перпендикулярные ребру
3. (при необходимости) заменить выбранные
направления параллельными им лучами с общим
началом на ребре двугранного угла
При изображении сохраняется параллельность и
отношение длин параллельных отрезков

17.

Величина линейного угла не зависит от выбора его
вершины на ребре двугранного угла.
B1
A1
A
O1
O
B

18.

Линейным углом двугранного угла называется
сечение двугранного угла плоскостью,
перпендикулярной ребру.
С
О
А
D
В

19. Угол между плоскостями

Углом между
двумя
пересекающимися
плоскостями
называется
наименьший из
двугранных углов,
образованных
этими плоскостями.

20. Задача 1:

В кубе A…D1
найдите угол
между
плоскостями
ABC и CDD1.

21. Задача 2:

В кубе A…D1
найдите угол
между
плоскостями
ABC и CDA1.
Ответ

22. Задача 3:

В кубе A…D1
найдите угол
между
плоскостями
ABC и BDD1.
Ответ

23. Задача 4:

В кубе A…D1
найдите угол
между
плоскостями
ACC1 и BDD1.
Ответ

24.

ЗАДАЧА № 1
Дано:
КМРТ-тетраэдр
Δ ТМК правильный
РТ МКТ
Указать:
Линейные углы для двугранных
углов :
РТМК
РМКТ
РКТМ
Р
В
┌
К
Т
Ребро ТМ , грани МРТ и МТК
А
M
В грани МРТ : РТ ТМ ( по определению а )
В грани МТК : КА ТМ, где А середина ТМ ( по свойству р/с Δ )
ВА РТ, РТ ТМ ВА МТ ( по лемме о связи и )
Ответ: ВАК искомый

25.

ЗАДАЧА № 2
Дано:
КМРТ-тетраэдр
Δ ТМК правильный
РТ МКТ
Указать:
Линейные углы для двугранных
углов :
РТМК
РМКТ
РКТМ
Ребро МК , грани КМР и КМТ
Р
Т┌
К
C
M
В грани КМР : РС КМ, где С - середина КМ ( по свойству р/с Δ)
В грани КТМ : ТС КМ, где С - середина КМ ( по свойству
Ответ: РСТ- искомый

26.

ЗАДАЧА № 3
Дано:
КМРТ-тетраэдр
Δ ТМК правильный
РТ МКТ
Указать:
Линейные углы для двугранных
углов :
РТМК
РМКТ
РКТМ
Р
F
Т
┌
D
M
Ребро КТ , грани КТР и КМТ
В грани КТР : РT КT ( по определению а )
В грани КТМ : МD КT, где D середина КТ ( по свойству р/с Δ)
FD PT, РT КT FD КT ( по лемме о связи и )
Ответ: FDM искомый
К

27. Задача 5:

В кубе A…D1 найдите угол
между плоскостями
BC1D и BA1D.
Решение:
Пусть О – середина ВD.
A1OC1 – линейный угол
двугранного угла А1ВDС1.

28. Задача 6:

В тетраэдре DABC все ребра
равны, точка М – середина ребра
АС. Докажите, что ∠DMB –
линейный угол двугранного угла
BACD.

29. Решение:

Треугольники ABC и
ADC правильные,
поэтому, BM⊥AC и
DM⊥AC и,
следовательно, ∠DMB
является линейным
углом двугранного угла
DACB.

30. Задача 7:

Из вершины В треугольника АВС,
сторона АС которого лежит в плоскости
α, проведен к этой плоскости
перпендикуляр ВВ1. Найдите
расстояние от точки В до прямой АС и
до плоскости α, если АВ=2,
∠ВАС=1500 и двугранный угол
ВАСВ1 равен 450.

31. Решение:

1) АВС – тупоугольный
треугольник с тупым
углом А, поэтому
основание высоты ВК
лежит на продолжении
стороны АС.
ВК – расстояние от
точки В до АС.
ВВ1 – расстояние от
точки В до плоскости α

32.

2) Так как АС⊥ВК, то
АС⊥КВ1 (по теореме ,
обратной теореме о трех
перпендикулярах).
Следовательно, ∠ВКВ1 –
линейный угол двугранного
угла ВАСВ1 и ∠ВКВ1=450.
3) ∆ВАК:
∠А=300, ВК=ВА·sin300,
ВК =1.
∆ВКВ1:
ВВ1=ВК·sin450, ВВ1=