Правильный треугольник

1. 12.10.19.

Физмат. школа – 9
12.10.19.

2. Часть 1

Это должен знать
каждый уважающий
себя гражданин
ЧАСТЬ 1

3. Правильный треугольник

a R 3 2r 3
а
a 3
m h l
2
S
a
2
4
3

4. Прямоугольный треугольник

c
a b c
тс R , r
2
2
α
bc c
ab
2
b
hc
, hc ac bc
c
hc
ac
2
2
a c ac , b c bc ,...
β
а

5. Ещё:

1) Параллельность прямых
2) Признаки равенства и подобия
треугольников
3) Параллелограмм и его частные случаи
4) углы в окружности, хорды,
касательные, секущие

6. Про чевианы треугольника

1) Точка пересечения медиан – центр масс,
центр тяжести, 2 : 1
2) Точка пересечения биссектрис – инцентр,
центр вписанной окружности
3) Точка пересечения высот или их
продолжений - ортоцентр

7. Теорему Чевы

Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС
взяты соответственно точки С1, А1 и В1. Прямые АА1,
ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только
тогда, когда
АС1 ВА1 СВ1
1
С1 В А1С В1 А

8. Крутой Чева

В АВС точка А1 лежит
на стороне ВС, точка С1 на стороне АВ. Отрезки
АА1 и СС1 пересекаются
в точке Р. Прямая ВР
пересекает отрезок АС в
точке В1. Известно, что
ВА1 : А1С = 3 : 2,
АС1 : С1В = 1 : 3. Найдите
СВ1 : В1А.
Крутой Чева

9. Точка Жергонна

Д-те, что прямые,
соединяющие вершины
треугольника с точками,
в которых вписанная
окружность касается
противоположных
сторон, пересекаются в
одной точке (точка
Жергонна)

10. Кто такой Жергонн?

Жозеф Диас Жергонн
(9 апреля 1771— 4 мая 1859) —
французский математик и геометр,
внёсший фундаментальный вклад в
развитие этих наук. В 1816 он
разрабатывал изящное решение задачи
Аполлония: построить окружность,
которая касается трех данных
окружностей.

11. Ещё про медианы

S1 S2
S2 S3
S1 = S2
S1
S6
S4
S5
S1=S2=S3=S4=S5=S6

12. Медиана через стороны

В
с
А
М
b
а
С

13. Про биссектрису

C
а
b
у
х
B
C1
z
A
C2

14. Формулы площади треугольника

1
1
S ah a ab sin
2
2
p p a p b p c
abc
pr
4R

15. Теорема косинусов

а b c 2bc cos
2
2
2
b c a
cos
2bc
2
2
2

16. Обобщённая теорема синусов

а
b
c
2R
sin sin sin

17. Теорема Фалеса

а
c
b
n
t
f

18. Теорема Менелая

19. И тут вышел Менелай

Дан АВС. На
продолжении стороны АС
за точку С взята точка N
так, что АС = 2СN. Точка М
лежит на стороне ВС,
причём ВМ : МС = 1 : 3. В
каком отношении прямая
МN делит сторону АВ?
В
Р
М
N
А
С

20.

Две стороны треугольника
В
равны 6см и 5 см. Найдите
третью сторону
треугольника, если она
относится к радиусу
описанной окружности как
5
А
3 : 1.
6
С