Similar presentations:
6.2 Предел функции в бесконечности и в точке
1.
Понятие предела функции y=f(x) связано спонятием предела числовой последовательности
an f (n)
У числовой последовательности переменная n,
возрастая, принимает только целые значения, а у
функции переменная х может принимать любые
значения.
2.
Число А называется пределом функцииу=f(x), при х стремящемся к бесконечности,
если для любого, сколь угодно малого числа
ε>0, найдется такое положительное число
S, что при всех |x|>S, выполняется
неравенство:
f ( x) A
lim
f
(
x
)
A
x
3.
При достаточно больших по модулю значенияхх, значения функции f(x) очень мало
отличаются от числа А (меньше, чем на
число ε , каким бы малым оно не было).
4.
Рассмотримгеометрический
определения.
Неравенство
смысл
этого
f ( x) A
равносильно двойному неравенству
A f ( x) A
что соответствует расположению части графика
у=f(x) в полосе шириной 2ε.
5.
yA
A
A
y f (x)
S
x
6.
Т.е. число А есть предел функцииy f (x)
если для любого, сколь угодно малого числа ε>0,
найдется такое число S, что при всех
x S
соответствующие ординаты графика функции
у=f(x) будут заключены в полосе
A y A
какой бы узкой она не была.
7.
Доказать, что5x 1
lim
5
x
x
8.
Для любого ε>01
5 5
x
5x 1
5
x
1
x
x
Т.е. для любого ε >0 существует число S
1
1
0
Такое, что для всех х, таких что |x|>S,
выполняется неравенство:
f (x) 5
5x 1
lim
f
(
x
)
lim
5
x
x
x
9.
Рассмотренное определение предела приx
стремящемся к бесконечности предполагает
неограниченное возрастание x по абсолютной
величине.
Можно сформулировать понятие предела при
стремлении x к бесконечности любого знака,
т.е. при
x
x
10.
В случае, когдаx неравенство
f ( x) A
должно выполняться при всех x таких, что х>s.
В случае, когда
x
неравенство
f ( x) A
должно выполняться при всех x таких, что х<-s.
Перейдем к понятию предела функции в точке.
Рассмотрим некоторую функцию у=f(x). Пусть эта
функция задана в некоторой окрестности точки
x0, кроме, может быть, самой этой точки.
11.
Число А называется пределом функцииу=f(x), при х→x0, (или в точке x0)
если для любого, сколь угодно малого числа
ε>0, найдется такое положительное число
δ, что при всех |x-x0|< δ, выполняется
неравенство:
f ( x) A
lim f ( x) A
x x0
12.
При всех значениях х, достаточно близкихк x0, значения функции у=f(x) очень мало
отличаются по абсолютной величине
от числа А (меньше, чем на
число ε, каким бы малым оно не было).
13.
Неравенствоf ( x) A
равносильно двойному неравенству
A f ( x) A
Аналогично неравенство
равносильно неравенству
x x0
x0 x x0
Это соответствует расположению части графика
y f (x)
в полосе шириной 2ε и попаданию точки х в δ окрестность точки x0.
14.
Т.е. число А есть предел функцииy f (x)
при х→x0, если для любого, сколь угодно малого
числа 0
найдется такая δ–окрестность точки x0, что для
всех х≠x0 из этой окрестности соответствующие
ординаты графика функции
y f (x)
будут заключены в полосе
A y A
какой бы узкой она не была.
15.
yy f (x)
A
A
A
x0
x0 x
0
x
16.
Доказать, чтоlim
(
2
x
3
)
5
x 1
17.
Пусть ε=0.1Тогда неравенство
будет выполняться при
2 x 3 5 0.1
x 1 0.05
Аналогично, при ε=0.01
Неравенство будет выполняться при
x 1 0.005
18.
Т.е. для любого ε >0 неравенствовыполняется при
x 1
2x 3 5
2
Т.е. для любого ε >0 существует число
0
2
что для всех х, таких что |x-1|<δ, выполняется
неравенство:
f (x) 5
lim
f
(
x
)
lim
(
2
x
3
)
5
x 1
x 1
19.
Определениепредела
не
требует
существования функции в самой точке x0,
т.к. рассматриваются значения функции в
некоторой окрестности точки x0.
Т.е. рассматривая предел
lim f ( x)
мы предполагаем, что
x x0
x x0
но не достигает значения x0.
20.
Если приx x0
переменная x принимает значения только
меньше x0 или, наоборот, больше x0, и при
этом функция f(x) стремится к некоторому
числу А, то говорят об односторонних
пределах соответственно справа и слева:
lim f ( x) A
x x0 0
lim f ( x) A
x x0 0
21.
Определение этих пределов будет аналогичнорассмотренному выше при x x0
Вместо значений x, удовлетворяющих условию
x x0
рассматриваются такие x, что
при x x0 0
и значения x, такие что
при x x0 0
x0 x x0
x0 x x0
22.
Если пределы функции f(x) слева и справаодинаковы и равны А, то существует общий
предел этой функции, также равный А:
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 0
x x0 0
lim f ( x) A
x x0