Числовые функции. Графики числовых функций. Электронное обучающее пособие

1. Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г. Костромы «Средняя общеобразовательная школа №3 с углублённым

изучением отдельных предметов»
Электронное
обучающее пособие
по теме:
«Числовые функции.
Графики числовых функций»
Кострома 2017
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

2. Числовая функция

Определение:
числовой
функцией
называется
соответствие
(зависимость), при котором каждому значению одной
переменной сопоставляется по некоторому правилу
единственное значение другой переменной.
Обозначение:
латинскими (иногда греческими) буквами / f, q, h, y, p и т.д./
Задание:
определите, какая из данных зависимостей является
функциональной
1)
x
y
2)
a
q
3)
x
d
4)
n
f
Для появления новой информации выполняйте щелчок левой кнопкой мыши
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

3. Правильные ответы

1. Является функциональной зависимостью, т.к. каждому
значению переменной х ставится
единственное значение переменной у
в
x
y
a
q
x
d
n
f
соответствие
2. Не
является функциональной зависимостью, т.к. не
каждому значению переменной а ставится в соответствие
единственное значение переменной q
3. Не является функциональной зависимостью, т.к. одному
из значений переменной х ставится в соответствие
значения переменной d
4. Является функциональной зависимостью, т.к. каждому
значению переменной n ставится
единственное значение переменной f
в
2
соответствие
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

4. Рассмотрим произвольную функцию y=f(х)

Переменная х
Переменная у
Название
переменной
независимая
аргумент
зависимая
функция
Числовые
значения
переменной
значения аргумента
значения функции f
в точке х: f(x)
Множество всех
допустимых
значений
переменой
образует
(выбираются произвольно)
область определения
функции
D( f ) или D( y )
(зависят от х)
область значений
функции для х Є D( f )
Е ( f ) или Е ( у )
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

5. Примеры

1.Функция задана формулой у =
1
х 9
2
Рассмотрим выражение, стоящее справа:
1
х 9
2
так как выражение имеет смысл при всех значениях переменной, кроме
х = -3, х = 3, поэтому D( y )=(- ∞;-3) U (-3;3) U (3; +∞)
так как числитель дроби не может быть равен 0, поэтому
Е ( у )=(- ∞ ; 0) U (0 ; +∞)
2.Функция задана формулой у = 3sinα-5
так как выражение 3sinα-5 имеет смысл при всех значениях α, поэтому
D( y )= R
так как -1≤ sinα ≤ 1, то -3 ≤ 3 sinα ≤ 3, следовательно - 8 ≤ 3 sinα - 5≤ -2,
поэтому Е ( у )=[- 8 ; -2 ]
3.Функция задана формулой у =
х 1
х 1
так как выражение
имеет смысл при х-1≥0, т.е. при х≥1,
поэтому D( y )= [ 1; +∞ )
так как выражение (х – 1) стоит под знаком арифметического
квадратного корня, поэтому Е ( у )=[ 0; +∞)
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

6. Числовые функции

дробные
целые
f(x)
f(x) = p(x),
где p(x) – некоторое выражение
p(x)
q(x)
,
где p(x),q(x) – некоторые
выражения,
D(f): q(x)≠0
примеры:
D(y) =R
f(x)
х 3 8 или f(x) 1 х 3 4
f(x)
D(y) =R
2
2
f(x)
f(x) х 4
f(x)
f(x) 8х 5 7 х 4 3х 2
D(y) =[ -4;+∞)
2-х
х3 8
примеры:
1
х 4
9х 5 8 х 2 4
х3 6 х 2 5х
D(y) =R, х ≠ -2
D(y) =( -4;+∞)
D(y) =R, х ≠ 0,х ≠1,х ≠5
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

7. График функции

Графиком функции f называют множество всех точек (х;у)
координатной плоскости, где у = f(х), а х «пробегает» всю
область определения функции.
Помножество координатной плоскости является графиком
какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей
точки с любой прямой, параллельной оси Оу.
Задание:
определите, какой из данных графиков является графиком
функции
Рис.1
Рис.2
у
о
х
Рис.3
у
о
х
Рис.4
у
о
х
у
о
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»
х

8. Правильные ответы

Рис.1 не является графиком функции, т.к.
существуют прямые, параллельные оси Оу,
имеющие более одной общей точки с линией
графика
у
о
х
Рис.2
является графиком функции,
т.к. любая прямая, параллельная оси Оу,
имеет не более одной общей точки с линией
графика
у
о
х
Рис.3 не является графиком функции, т.к.
Рис.4 не является графиком функции, т.к.
существуют прямые, параллельные оси Оу,
имеющие более одной общей точки с линией
графика
у
существует прямая, параллельная оси Оу,
имеющая более одной общей точки с линией
графика
у
о
х
о
х
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

9. Способы задания функций

Формула
f ( х) 14 х 2 2 х 1 sin
График
р,°С
2
о
-2
2
6
10
14
16
18
22
24
t, ч
-4
Таблица
х
-39 -7,8 -2
у
2,3
0
0
-7 4,28
2
5,4 9,1 13 15 5
7
8
14 -8 5,5
Словесное описание
Масса тела m прямо пропорционально зависит от его объёма
V при постоянной плотности ρ.
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

10. Преобразование графиков функций

Функция
Преобразование
графика функции у=f(x)
Рисунок
у
у =f(х)+А Параллельный перенос
графика функции у = f(х)
вдоль оси Оу:
на А единиц вверх, если
А>0;
на |А| единиц вниз, если
А <0
у = f(х-a)
Параллельный перенос
графика функции у = f(х)
вдоль оси Ох:
на а единиц вправо,
если а>0;
на |а| единиц влево,
если а <0
Пример
у=f(х)+А
А>0
у=f(х)
0
х
у х 1
4
3
А
|А|
у
у х
2
1
у=f(х)+А
А<0
у=f(х-а)
а<0
у
0
у=f(х)
3
х
у=f(х-а)
а>0
х
у
4
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
у х 1
у х
2
1
-1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»
х

11. Преобразование графиков функций /продолжение/

Функция
у = kf(х),
k>0
у = f(kх),
k>0
Преобразование
графика функции у=f(x)
Растяжение графика
функции у = f(х) вдоль оси
Оу относительно оси Ох в
k раз, если k>1;
Сжатие графика вдоль
оси Оу относительно оси
Ох в 1k раз, если 0<k<1
Сжатие графика функции
у = f(х) вдоль оси Ох
относительно оси Оу в k
раз, если k>1;
Растяжение графика
вдоль оси Ох относительно
оси Оу в 1k раз, если
0<k<1
Рисунок
у = kf(х), у
k>1
Пример
у
у = 2cos
x
у=f(х)
π
-π
0
у = kf(х),
0<k<1
у = cos x
0
х
х
-1
-2
у = f(kх),
0<k<1
у
у
у=f(х)
у = sin 2x
0
у = sin 0,5x
0
х
π
2π
у = sin х
у = f(kх),
k>1
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»
х

12. Преобразование графиков функций /продолжение/

Функция
у = - f(х)
Преобразование
графика функции у=f(x)
Симметричное отражение
графика функции у = f(х)
относительно оси Ох
Рисунок
Пример
у
у
у х
у=f(х)
1
0
у = - f(х)
у = f(-х)
Симметричное отражение
графика функции у = f(х)
относительно оси Оу
х
0
-1
х
1
у х
у
у
у х
у=f(х)
0
х
у=f(-х)
у х
1
0
1
-1
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»
х

13. Преобразование графиков функций /продолжение/

Функция
у = |f(х)|
у = f(|х|)
Преобразование
графика функции у=f(x)
Часть графика функции
у= f(х), расположенная
ниже оси Ох, симметрично
отражается относительно
оси Ох, остальная часть
графика
остаётся
без
изменения
Часть графика функции
у= f(х), расположенная в
области х ≥0, остаётся без
изменения,
а
часть
графика, расположенная в
области х≤0, заменяется
симметричным
отображением
части
графика
для
х
≥0
относительно оси Оу
Рисунок
Пример
у
у
у = |f(х)|
у= |х²-1|
1
0
х
0
у= х²-1 х
-1
у= f(х)
у= f(х)
у
у= |х|³
у
у = f(|х|)
1
0
х
0
-1
1
у= х³
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»
х

14. Задание 1 Построить график функции

у = 3 – (х+1,5)²
параллельный перенос
у=х²
вдоль оси Ох на 1,5 ед. влево
1.
у=(х+1,5)²
параллельный перенос
оси Оу на 3 ед. вверх
у= -(х+1,5)² вдоль
симметричное отражение
относительно оси Ох
у= 3 – (х+1,5)²
у
у= х²
3
у=(х+1,5)²
1
у= 3 – (х+1,5)²
-1
0
1
х
-1
у= – (х+1,5)²
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

15.

2.
у = 2sin (х – π)
у= sin х
растяжение
вдоль оси Оу в 2 раза
у= 2sin х
параллельный перенос
вдоль оси Ох на ед. вправо
у = 2sin (х – π)
у
2
у = 2sin х
1
у = sin х
0
π
-π
х
2π
-1
у = 2sin (х – π)
-2
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

16. Задание 2 Определите, какие виды преобразований были использованы

у = 0,5(х-1)³ + 3
параллельный перенос
у=х³ вдоль оси Ох на 1 ед. вправо у=(х-1)³
1.
у=0,5(х-1)³
параллельный перенос
вдоль оси Оу на 3 ед. вверх
2. у = -cos (х+π)
у=cosх параллельный перенос
вдоль оси Ох на ед. влево
сжатие
вдоль оси Оу в 0,5 раза
у = 0,5(х-1)³ + 3
у = cos (х+π)
симметричное отражение
относительно оси Ох
у = -cos (х+π)
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

17. Задание 3 Определите, какой формулой задана функция

1.
у = х³
параллельный перенос
вдоль оси Ох на 2 ед. вправо
симметричное отражение
относительно оси Ох
у = (х-2)³
у = - (х-2)³
параллельный перенос
вдоль оси Оу на 4 ед. вниз
у = - (х-2)³- 4
2.
у=х
параллельный перенос
вдоль оси Оу на 1 ед. вниз
у = х-1
симметричное отражение относительно оси Ох
части графика , расположенной ниже оси Ох
у = |х-1|
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

18. Построение графика функции у = |х – 1|

2.
у=х
параллельный перенос
вдоль оси Оу на 1 ед. вниз
у = х-1
симметричное отражение относительно оси Ох
части графика , расположенной ниже оси Ох
у = |х-1|
у
у= |х – 1|
1
-1
0
1
х
-1
у= х
у= х – 1
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

19. Информационные ресурсы

Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Справочное пособие Алгебра
в таблицах, 7-11 класс – М.: Дрофа, 2015
Ковалёва Г.И. Уроки математики в 10 классе. Поурочные
планы. Часть I – М.: Учитель, 2016
Колмогоров А.Н. и др. Учебник для 10-11 классов Алгебра и
начала анализа – М.: Просвещение, 2012
Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник
для 9 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2015
Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник
для 7 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2016
Мордкович А.Г. /под редакцией/ Задачник для 10-11 классов
Алгебра и начала анализа – М.: Мнемозина, 2016
Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»