Решение заданий С2 (Часть 4 )

1. Решение заданий С2 (Часть 4 )

2.

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 –
прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = 33. Найдите тангенс
угла между плоскостью грани AA1D1D призмы и плоскостью,
проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D,
если расстояние между прямыми А1С1 и BD равно 3.
С1
33
В1
5
D1
Р
3
В
С
№1
М
O
D
N
Решение.
А1 Призма прямая, в основании
прямоугольник. Значит, она
еще и прямоугольный
параллелепипед.
Это значит, что расстояние
между A1C1 и BD (диагоналями
оснований призмы) равно длине
боковых ребер 3 .
Нам нужно найти тангенс угла
А между боковой гранью AA1D1D и
плоскостью, перпендикулярной
диагонали B1D
параллелепипеда.

3.

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 –
прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = 33. Найдите тангенс
угла между плоскостью грани AA1D1D призмы и плоскостью,
проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D,
если расстояние между прямыми А1С1 и BD равно 3.
D
φ
Р
K
90º − φ
O
В1
№1
N
Решение (продолжение)
Информация о том, что эта
плоскость проходит через
середину ребра CD − лишняя.
Имеем две пересекающиеся
плоскости, к одной из которых
проведена перпендикулярная
прямая B1D, пересекающая
другую плоскость в точке D.
По сути, нам надо найти угол
между плоскостью грани
AA1D1D и самой диагональю
B1D − угол φ, а искомый угол
будет равен (90º − φ).

4.

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 –
прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = 33. Найдите тангенс
угла между плоскостью грани AA1D1D призмы и плоскостью,
проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D,
если расстояние между прямыми А1С1 и BD равно 3.
С1
33
В1
А1 Решение (продолжение)
5
D1
φ
3
В
С
№1
Поскольку мы имеем дело с
п/у параллелепипедом, то
этот угол легко найти из п/у
∆B1DA1.
Угол φ − и есть угол между
гранью и диагональю.
М
D
A1D
N
33
3
2
2
36 6
А (по теореме Пифагора
из п/у ∆AA1D)
Значит, ctg φ = 6/5.
tg (90º − φ) = ctg φ = 6/5.
Ответ: 6/5.

5.

№2
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А
до плоскости DЕА1.
С1
В1
А1
D1
E1
F1
H
С
1
В
А
D
E
1
Решение.
Прямые AA1 и AE перпендикулярны
прямой DE. Плоскость DЕА1,
содержащая прямую DE,
перпендикулярна плоскости AEA1.
Значит, искомое расстояние равно
высоте AH прямоугольного
треугольника AEA1, в котором
AA1 = 1, AE = 3 , B1F = 2.
AH
AA1 AE 1 3
3
EA1
2
2
F
Ответ:
3
.
2

6.

№3
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 рёбро основания
АВ = 8 3 , а боковое ребро АА1 = 7. Найдите тангенс угла между
плоскостями ВСА1 и ВВ1С1.
Решение.
С1
∆А1В1С1 – р/с, А1Н1 – его высота,
значит А1Н1⊥В1С1
Н1
В р/б ∆ВСС1, А1Н – высота, тогда
В1
А1 НН – проекция наклонной А Н на
1
1
плоскость ВВ1С1 и по теореме,
обратной теореме о 3-х ⊥ НН1⊥ВС,,
т.е. искомый угол – A1НН1.
7
Найдем его тангенс из п/у ∆ A1НН1
С
Н
В
8 3
8 3 3
12; НН1 7
2
AH
12
tgA1HH1 1 1
HH1
7
A1H1
А
Ответ:
12
.
7