Математика и экономика. Задачи о наибольших и наименьших значениях величин

1. Математика и экономика

Задачи о наибольших и наименьших
значениях величин
Прокофьева И.Л.
1

2.

ПЛАН УРОКА.
1.
Повторение. Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего
значения функции на отрезке .
2.
Задача 1
3.
Задача 2
4.
Задача 3
5.
Задача 4
6.
Задача 5
7.
Задача 6
8.
Анализ урока
9.
Домашнее задание. Задачи для самостоятельного решения.
.
2

3. Задача 1 Завод производит x единиц продукции в месяц, а суммарные издержки производства составляют:

•Задача 1
Завод производит x единиц продукции в месяц, а
суммарные издержки производства составляют:
1 2
K
x 15 x 800
50
Зависимость между ценой p и количеством единиц
x,которое можно продать по этой цене определяется
формулой:
1
p 50
10
x
Выявить при каких условиях прибыль будет
максимальной.
3

4. Решение

Обозначим через Z получаемую прибыль, которая равна разности между
выручкой от продаж товара и затратами.
Очевидно Z U ( x) K ( x)
U
(
x
)
K
(
x
)
0
Прибыль будет максимальной если, Z 0 т.е.
или U ( x ) K ( x )
Предприятие получает максимальную прибыль при таком объеме
производства продукции, для которого предельная выручка равна
предельным издержкам.
1 2, а предельная выручка dU
Выручка
1
U xp 50 x
10
x
dx
dK
1
x 15
dx 25
Прибыль будет максимальной, если
или
1
1
50 x
x 15
5
25
50
5
x
Предельные издержки
Z (100) 35
6
100 11 0
25
x 146
4

5.

Z (200) 35
6
200 13 0
25
Производная меняет знак плюс на минус, следовательно функция
достигает своего максимального значения. В данном случае –
максимальной прибыли.
При таком объеме выпускаемой продукции цена составит:
1
p 50 146 35,4
10
(рублей)
5

6.

•Задача 2
Требуется построить здание с общей площадью S
так, чтобы затраты на наружные стены были
наименьшими.
6

7. Решение

Обозначим через x длину здания, тогда ширина здания будет
Периметр здания выразится формулой
S.
x
S
P 2 x
x
Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю.
S 2 , 1 S 0
x, S
P ( x) 2 1 2
x
x
4
P ( x) 3 при x S больше нуля,
x
2
Вторая производная
что указывает о наличии минимума.
Найдем этот периметр.
S
P 2 S
2 2 S 4 S
S
7

8. Задача 3

•Задача 3
Определить соотношение высоты и поперечника
цилиндрической консервной банки заданной
вместимостью V так, чтобы на ее изготовление
потребовалось минимальное количества металла.
8

9. Решение

Обозначим радиус основания цилиндрической консервной банки через r.
Зная, что объем цилиндрической банк
определим высоту банки
V r 2 h
(1)
Боковая поверхность банки равна произведению длины окружности
V
основания на высоту, т.е.
h 2
(2)
r
Тогда полная поверхность банки будет
V
2V
2
r
r
r 2
(3)
Продифференцируем функцию (3)
2V
S 2 r
r
2
9

10.

2V
S 4 r 2
r
Приравняем производную
Отсюда r
3
V
2
S к нулю,
2V
0
2
r
4V
S (r ) 4 3 0
r
, что подтверждает
Вторая производная
минимальность функции S.
V
Высота банки
h
4 r
r 2
V
3
V2
23
V
2r
2
2 2
Следовательно, чтобы на изготовление консервной банки потребовалось
бы минимальное количество металла, высота ее должна равняться
диаметру.
10