Квадратные неравенства с параметрами

1. Решение квадратных неравенств с параметрами

Учитель математики
МАОУ лицей №3 города
Кропоткин Краснодарского
края Зозуля Елена
Алексеевна

2. Цели: формировать умения решать квадратные неравенства; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации;

активизировать познавательную и
творческую деятельность.

3. Задание 1

При каких значениях а неравенство
ах²+2ах+2х+2а+2≤0
выполняется при любых значениях х?

4. Решение:

а)неравенство выполняется при любых значениях х,
à 0
если D 0
ах²+х∙(2а+2)+2а+2≤0
D =(2а)²-4а ∙(2а+2)=4а ²+8а+4-8а²-8а=4-4а=4∙(1а²)=4∙(1-а)∙(1+а)
à 0
4(1 - à)(1 à) 0
Итак, при а ≤-1, уравнение имеет корни при любых
значениях х
Ответ: при а ≤-1

5. Задание 2

а)При каких значениях а решением
неравенства (х-а)²(х-3)(х+1) ≤0
является сплошной промежуток?
б) При каких значениях а неравенство
x 2a 1
0
x a
выполняется при всех значениях х
из отрезка 1;2

6. Решение а):

а)рассмотрим «плавающую» точку а на отрезке прямой
относительно точек -1 и 3
x 1;3 a не удв.услов.
1) а<3
x 1;3 удв.услов.
2) а=3
x 1;3 удв.услов.
3) -1<а<3
4) а= -1
удв.услов.
x 1;3
5) а< -1
x 1;3 a не удв.услов.
Ответ: при -1≤а≤3

7. Решение б):

x 2a 1
0
x a
x 1;2
x (2a 1)
0
x a
1) при а >0 à 0
1
<а<1
2
à 1
2 à 1 2
2)при а<0 нет решений
Ответ: при
1
a ;1
2
à 0
à 1
1
à
2

8. Задание 3

Найти все а, при которых неравенство
1
x 2 a 2 0
x
2
имеет не менее трех целых решений.

9. Решение:

1
x 2 a 2 0
x
1
x 2 2 a
x
1 2
y (x )
x
y a
2
2
1 2
(x ) a
x
Рассмотрим две функции
и выполним рисунок:
При а=4 нер-во примет вид
(x
1 2
) 4 0
x
( x 1)( x 1)
0
2
x
при х=±2 получаем нер-во
2
(2
1 2
) a
2
a 6,25
Всего 2 целых решения(не удв.усл.) получается 4 целых корня: 2;1;1;2
При всех a 6,25 , тоже 4 корня, т.е. больше 3
Ответ: a 6,25;

10. Задание 4

Найти все а, при которых неравенство
4
4 x 2 5a 8 0
x
2
имеет ровно два целых решения.

11. Решение:

4
4x2
x2
5a 8 0
4( x 2 2
1
) 5a 0
2
x
(x
1 2 5
) a
x
4
Рассмотрим две функции и выполним рисунок:
1 2
y (x )
x
y
5
a
4
При 0≤а<1,8 нер-во имеет ровно 2 целых решения
при х=±2 нер-во имеет 4 целых решения, значит при х>2 найдем все а
1 2 5
9 5
(2 ) a
a 1,8
a
2
4
4 4
Ответ:
a 0;1,8

12. Задание на дом

а2
Задание на дом
Найдите
все значения х, для каждого из которых
неравенство
(2-х ) а 2 +( х 2 -2х+3)а-3х≥0
выполняется для любого значения а,
принадлежащего промежутку [-3;0].
Ответ:
-1