Частотные методы улучшения изображений. Лекция 3

1. Частотные методы улучшения изображений

2. Линейная фильтрация в частотной области

- Линейная фильтрация сигналов и изображений может
осуществляться как в пространственной, так и в частотной
области.
- Низкочастотным составляющим соответствует
основное содержание изображения – фон и крупноразмерные
объекты,
- Высокочастотные составляющие – мелкоразмерные
объекты, мелкие детали крупных форм и шумовая
компонента.
- Традиционно для перехода между пространственной и
частотной пространствами используются методы, основанные
на преобразовании Фурье.
- В последние годы все большее применение находят
также методы, основанные на вейвлет-преобразовании
(wavelet-transform).

3. Преобразование Фурье

• Сигналы удобно анализировать,
раскладывая на синусоиды (гармоники)
– Человек может различать высокие и низкие
частоты => требуется обработка сигналов
с учетом этого
• Преобразование Фурье – это
разложение функции на синусоиды

4.

5.

6. Гармонический анализ

Прямоугольный
сигнал как сумма
нечетных
гармоник

7. Гармонический анализ

Разложение прямоугольного импульса в ряд Фурье
на сумму гармонических колебаний (гармоник)
возрастающей частоты.Чем больше гармоник
учитывается в разложении, тем точнее их сумма
воспроизводит форму импульса.
Сумма первых 20
гармоник ряда Фурье
прямоугольного. импульса

8. Гармонический анализ

Разложение прямоугольного импульса
и
его спектр

9.

10.

11.

12.

13.

14. Пример. Фурье-спектры

15.

M=1024, K=8, A=1

16.

17. Двумерное преобразование Фурье

В случае обработки изображений компоненты двумерного
преобразования Фурье называют пространственными
частотами.
Важным свойством двумерного преобразования Фурье является
возможность его вычисления с использованием процедуры
одномерного БПФ.
1
1
F ( u, v )
N y 0 M
N 1
M 1
f ( x, y )e
x 0
2 jux
M
e
2 jvy
N
Здесь выражение в квадратных скобках есть одномерное
преобразование строки матрицы данных, которое может быть
выполнено с одномерным БПФ. Таким образом, для получения
двумерного преобразования Фурье нужно сначала вычислить
одномерные преобразования строк, записать результаты в
исходную матрицу и вычислить одномерные преобразования для
столбцов полученной матрицы.

18.

19.

20. На практике

21.

22.

23.

Исходное изображение
Фурье спектр (нецентрированный)
Фурье спектр (центрированный)

24.

g=fft2(f)
g=fftshift(g)
g1=log(1+abs(g))

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50. Фильтры низких частот Баттерворта (БФНЧ)

1
H u, v
2n
1 D u, v / D0
D u, v D0
ИФНЧ
D u, v u M / 2 v N / 2
2
H u, v 0,5
БФНЧ
2 12

51. Фильтры низких частот Баттерворта (БФНЧ)

Обрезающие частоты

52. Результаты применения БФНЧ (n=2)

R = 5, α = 92

53. Результаты применения БФНЧ (n=2)

R = 15, α = 94.6
R = 30, α = 96.4

54. Результаты применения БФНЧ (n=2)

R = 80, α = 98
R = 230, α = 99.5

55. Представление БФНЧ

D0 = 5
n= 1, 2, 5, 20

56. Сравнение БФНЧ (n=20 →∞) и ИФНЧ

БФНЧ (n=20)
ИФНЧ
D0=5

57. Гауссовы фильтры низких частот (ГФНЧ)

H u Ae
u 2 / 2 2
H u, v e
D2 u ,v / 2 2
Одномерный
Двумерный
A=1
H u, v e
D2 u ,v / 2 D02
D u, v D0
H u, v 0,607

58. Представление ГФНЧ

59. Результаты применения ГФНЧ

R = 5, α = 92

60. Результаты применения ГФНЧ

R = 15, α = 94.6
R = 30, α = 96.4

61. Результаты применения ГФНЧ

R = 80, α = 98
R = 230, α = 99.5

62. Сравнение БФНЧ и ГФНЧ (D0=15)

R = 15, α = 94.6
R = 15, α = 94.6

63. Примеры низкочастотной фильтрации в распознавании текста

ГФНЧ (D0=80) размер изображения 444 х 508

64. Примеры низкочастотной фильтрации в полиграфии

ГФНЧ (D0=80, D0=100) размер изображения 1028 х 732

65. Примеры низкочастотной фильтрации в обработке аэротофоснимков

ГФНЧ (D0=30, D0=10) размер изображения 588 х 600

66. Частотные фильтры повышения резкости

Рассматриваем центрально-симметричные фильтры нулевого
фазового сдвига
Передаточная функция
H hp u, v 1 H lp u, v

67. Высокочастотные фильтры

• Идеальные фильтры высоких частот – очень резкий
• Фильтр Баттерворта – переходный (зависит от порядка)
• Гауссов фильтр – очень гладкий

68. Высокочастотные фильтры

69. Получение пространственного фильтра из частотного

1.
2.
3.
Функция фильтра H(u,v) * (-1)u+v
Вычисляется обратное ДПФ
Вещественная часть * (-1)x+y

70. Идеальные фильтры низких частот (ИФВЧ)

0, при D u, v D0
H u, v
1, при D u, v D0
D u, v u M / 2 v N / 2
2
2 12

71. Представление в пространственной области

Идеальный
Баттерворта
Гауссов

72. Результат применения ИФВЧ

D0 = 15, 30, 80

73. Фильтры высоких частот Баттерворта (БФВЧ)

H u, v
1
2n
1 D0 / D u, v

74. Результаты применения БФВЧ (n=2)

D0 = 15, 30, 80

75. Гауссовы фильтры высоких частот (ГФВЧ)

H u, v 1 e
D 2 u ,v / 2 D02

76. Результаты применения ГФВЧ

D0 = 15, 30, 80

77. Лапласиан в частотной области

d n f x
n
iu
F u
n
dx
2 f x, y 2 f x, y
2
2
2
2
iu
F
u
,
v
iv
F
u
,
v
u
v
F u, v
2
2
y
x
2 f x, y u 2 v 2 F u, v
H u, v u 2 v 2

78. Сдвиг центра передаточной функции

H u, v u 2 v 2
H u, v u M / 2 v N / 2
2
2

79. Результат применения дискретного оператора Лапласа в частотной области

2
2
2
1
f x, y u M / 2 v N / 2 F u, v
2 f x, y u M / 2 v N / 2 F u, v
2
2

80. Представление Лапласиана

81. Для получения улучшенного изображения

вычитаем Лапласиан (изображение полученное с
использованием частотного фильтра Лапаласа) из
оригинала
g x, y f x, y 2 x, y

82. Вариант использования одного фильтра

H u, v 1 u M / 2 v N / 2
2
2
2 f x, y 1 1 u M / 2 v N / 2 F u, v
2
2

83. Применение лапласиана в частотной области

84. Вариации фильтров

• Нерезкое маскирование
• Высокочастотная фильтрация с подъемом частотной
характеристики
• Фильтрация с усилением высоких частот

85. Общее свойство ФВЧ

Среднее значение яркости фона близко к 0

86. В случае лапласиана

прибавляется исходное изображение к результату
фильтрации

87. Такой подход называется

высокочастотная фильтрация с подъемом частотной
характеристики
обобщение метода нерезкого маскирования

88. Нерезкое маскирование

резкое маскирование = оригинал – сглаженная копия
f hp x, y f x, y f lp x, y

89. Высокочастотная фильтрация с подъемом частотной характеристики

f hb x, y Af x, y f lp x, y
f hb x, y A 1 f x, y f x, y f lp x, y
f hb x, y A 1 f x, y f hp x, y

90. Нерезкое маскирование в частотной области

H hp u, v 1 H lp u, v

91. Фильтрация с подъемом частотной характеристики

H hb u, v A 1 H hp u, v

92. Результат ФВЧ с подъемом частотной характеристики

Лапласиан
A=2.0
A=2.7

93. Сравнение частотного лапласиана с пространственным

частотный
пространственный

94. Фильтрация с усилением высоких частот

H hfe u, v a bH hp u, v
0.25 ≤ a ≤ 0.50
1. 5 ≤ b ≤ 2.5

95. Результат применения фильтрации с усилением высоких частот

БФВЧ n=2
D0=5%
высоты
Усиление высоких частот
+Эквализация гистограммы

96. Гомоморфная фильтрация

Сжатие яркостного диапазона и усиление контраста
Еще один вариант представления изображения
f x, y i x, y r x, y

97. Сложности частотной обработки

f x, y i x, y r x, y
Рассмотрим величину
z x, y ln f x, y ln i x, y ln rf x, y
Тогда
z x, y ln f x, y i x, y r x, y
или
Z u, v Fi u, v Fr u, v

98. Применим фильтрацию

S u, v H u, v Z u, v H u, v Fi u, v H u, v Fr u, v
В пространственной области имеем
s x, y 1 S u, v 1 H u, v Fi u, v 1 H u, v Fr u, v
s x, y i x, y r x, y
g x, y e s x , y ei x , y e r x , y i0 x, y r0 x, y

99. Схема метода гомоморфной фильтрации

100. Профиль центрально-симетричной передаточной функции фильтра

ΥL<1
ΥH>1

101. Аппроксимация модифицированным ГФВЧ

H u, v H L 1 e c D
2
u ,v / D02
Похож на фильтр усиления высоких частот
L

102. Результат гомоморфной фильтрации

L 0.5 H 2.0