Ekonometria
Weryfikacja modelu ekonometrycznego
Przykład.
Twierdzenie 1 (Gaussa-Markowa)
Twierdzenie 2 (Gaussa-Markowa)
Ile wynoszą reszty?
Twierdzenie 3 (Gaussa-Markowa
Wnioskowanie o dokładności szacunku parametrów αi
Współczynnik zbieżności dany wzorem:
Weryfikujemy istotność parametrów strukturalnych oszacowanego modelu
Badanie koincydencji
Współliniowość – czy zmienne są katalizatorami?
Badanie losowości
Czy reszty są losowe?
Wartości krytyczne testu serii
Czy rozkład reszt modelu jest symetryczny?
Czy występuje autokorelacja skladnika losowego?
Współczynnik korelacji Pearsona
Proces autokorelacji rzędu I
Test Durbina-Watsona
Tablice testu Durbina-Watsona prezentują wartości krytyczne dL  oraz dU  dla odpowiedniej liczby obserwacji n oraz liczby
Czy występuje autokorelacja reszt?
2.24M
Category: economicseconomics

Ekonometria. Weryfikacja modelu ekonometrycznego

1. Ekonometria

Wykład 7
dr hab. Małgorzata Radziukiewicz, prof. PSW Biała Podlaska

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. Weryfikacja modelu ekonometrycznego

9.

10.

11.

12.

13. Przykład.

• Do modelu wybrano zmienne objaśniające X1 oraz
X2.
• Macierz obserwacji na zmiennych objaśniających
modelu jest postaci:
• Wektor wartości zmiennej objaśnianej Y:

14. Twierdzenie 1 (Gaussa-Markowa)

• Wektor ocen parametrów strukturalnych jest
postaci:

15.

• Macierz odwrotna do macierzy XTX

16.

• Obliczamy wartości ocen parametrów
strukturalnych modelu ekonometrycznego:
• Model ekonometryczny jest postaci:

17.

• Interpretacja:
• a0 = 7,941 to średnia wartość Y w przypadku, gdy
zmienne objaśniające X1 i X2 są równe 0;
• a1 = 1,341 oznacza o ile przeciętnie wzrośnie Y,
jeżeli zmienna objaśniająca X1 wzrośnie o
jednostkę, podczas gdy zmienna objaśniająca X2
pozostanie bez zmian;
• a2 = 1,800 oznacza, o ile przeciętnie wzrośnie Y,
jeżeli zmienna objaśniająca X2 wzrośnie o
jednostkę, podczas gdy zmienna objaśniająca X1
pozostanie bez zmian.

18.

19.

20. Twierdzenie 2 (Gaussa-Markowa)

• Wariancja składnika resztowego (estymator
wariancji składnika losowego) według wzoru:
T
e e
S (e)
n (k 1)
2
• Do obliczenia wariancji potrzebne są reszty:
• gdzie:
- wartości teoretyczne zmiennej obajśnianej (uzyskane
na podstawie modelu) = wartości przewidywane
- wartości zmiennej objaśnianej (empiryczne )

21. Ile wynoszą reszty?

• Do oszacowanego modelu:
• podstawiamy kolejne wartości zmiennych X1 i X2
12,423
11,082
Yˆ 16,023
12,882
18,705

22.

• Wektor reszt
e1 12,423 10 2,423
e2 11,082 12 0,918
e3 16,023 13 3,023
e4 12,882 15 2,118
e5 18,705 20 1,295
równa się:
2,423
0,918
e 3,023
2,118
1,295

23.

• licznik wzoru to:
22,014
22,014
S (e)
11,007
n (k 1)
2
2

24.

• Odchylenie standardowe składnika
resztowego (błąd estymacji):
S (e) S 2 (e) 11,007 3,318
• Interpretacja:
• Poszczególne obserwacje empiryczne Y
odchylają się średnio od teoretycznych o ±
3,318 jednostek.

25. Twierdzenie 3 (Gaussa-Markowa

• Wariancja estymatora parametrów
strukturalnych według wzoru:
wynosi:
Obliczając wartości elementów diagonalnych
macierzy D2(a) otrzymamy oceny wariancji
poszczególnych parametrów modelu

26. Wnioskowanie o dokładności szacunku parametrów αi

• Błędy średnie szacunku parametrów
strukturalnych:
S (a0 ) 11,007 1,267 13,946 3,734 3,7
S (a1 ) 11,007 0,267 2,939 1,714 1,7
S (a2 ) 11,007 0,400 4,403 2,098 2,1
• Interpretacja:
O ile +- odchylają się wartości ocen
parametrów strukturalnych od ich
wartości rzeczywistych

27.

• Do interpretacji lepiej posługiwać się
średnimi względnymi błędami szacunku
parametrów wyznaczonymi ze wzoru:
S (a0 )
3,734
100%
100% 47,02%
a0
7,941
S (a1 )
1,714
100%
100% 127,82%
a1
1,341
S (a 2 )
2,089
100%
100% 116,06%
a2
1,800
Błędy średnie stanowią odpowiednio 47,02%, 127,82% oraz
116,06% wartości kolejnych parametrów.

28. Współczynnik zbieżności dany wzorem:

wynosi:
bowiem:

29.

• Współczynnik zbieżności φ2 = 0,380
oznacza, iż 38% zmienności zmiennej
objaśnianej Y nie zostało wyjaśnione przez
model.
• Współczynnik determinacji R2 :
R 1 1 0,380 0,620
2
2
co oznacza, iż 62% zmienności zmiennej
objaśnianej Y zostało wyjaśnione przez
model

30.

• Współczynnik zmienności losowej:
• Interpretacja:
• Odchylenia losowe stanowią 23,7%
wartości średniej zmiennej objaśnianej Y.

31.

• W ekonometrii przyjęta jest konwencja
podawania średnich błędów szacunku
parametrów strukturalnych łącznie z
oszacowaniem modelu.
• Oszacowany model ekonometryczny jest
postaci:

32.

33. Weryfikujemy istotność parametrów strukturalnych oszacowanego modelu

• Stawiamy hipotezę:
• H0: αi = 0 (parametr αi nieistotnie różni się od
zera tzn. że zmienna Xi przy której parametr stoi
wywiera nieistotny wpływ na zmienną objaśnianą );
• H1: αi ≠ 0 (parametr αi istotnie różni się od zera);
• Test istotności pozwalający na weryfikację
hipotezy H0: αi = 0 oparty jest na rozkładzie
statystyki t-Studenta określonej wzorem:

34.

• Dla każdego parametru obliczamy wartości
empiryczne statystyki t:
7,941
2,127
3,734
1,341
0,782
1,714
1,800
0,862.
2,089
t ( a0 )
t ( a1 )
t ( a2 )
• Z tablic t-Studenta dla przyjętego poziomu
istotności α = 0,01 oraz dla n-(k+1)= 5–(2+1)=2
stopnie swobody odczytujemy wartość krytyczną
t* = 4,303.

35.

• Jeżeli spełniona jest nierówność:
to hipoezę H0 należy odrzucić na
korzyśćalternatywnej hipotezy H1, czyli
dany parametr jest statystycznie istotny.
• W przypadku, gdy:
nie ma odstaw do odrzucenia hipotezy
H0 o nieistotności parametru.

36.

• Z naszych obliczeń wynika m.in., iż:
więc hipotezę H1 odrzucamy, a parametr a0 jest
statystycznie nieistotny.
• Dla parametrów a1 i a2 spełniona jest również
nierówność:
co oznacza, iż w tym przypadku również nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
• Interpretacja:
Parametry a0, a0 i a2 są statystycznie nieistotne. A
zatem zmienne objaśniające X1 i X2 wywierają
nieistotny wpływ na zmienną objaśnianą Y.

37.

38. Badanie koincydencji

• Model jest koincydentny, jeżeli dla każdej
zmiennej objaśniającej model zachodzi:
gdzie:
• ai – jest oceną parametru strukturalnego αi;
• ri – jest współczynnikiem korelacji między zmienną
Y a zmienną Xi.
Model jest koincydentny.

39. Współliniowość – czy zmienne są katalizatorami?

• Zmienna Xi z pary zmiennych ( Xi, Xj) jest
katalizatorem jeżeli:
ri
rij 0
lub
rij
rj
• Z obliczeń wynika, iż:
Żadna ze zmiennych nie jest katalizatorem.

40.

41. Badanie losowości

• Badanie losowości ma związek z wyborem postaci
analitycznej modelu.
• W standardowym modelu liniowym zmienna
objaśniana jest liniową funkcją zmiennych
objaśniających plus korekta.
• W przypadku, gdy korekty mają przez dłuższy
okres jednakowe znaki można przypuszczać, że
został popełniony błąd specyfikacji:
– nietrafny wybór postaci analitycznej modelu;
– nietrafny wybór zmiennych objaśniających

42.

43. Czy reszty są losowe?

Wektor reszt
2,423
0,918
e 3,023
2
,
118
1,295
Reguły testu (dla prób małych (n≤30)
• Przypisujemy resztom ek symbole a, gdy ek > 0,
oraz b gdy ek <0
• Otrzymujemy ciąg złożony z symboli a i b
• a, b, a, b, b.
• Określamy liczbę serii kemp
kemp = 4
Z tablic liczby serii dla n1 = liczba symboli a i n2 =
liczba symboli b oraz przyjętego α = 0,05
odczytujemy wartośc tα = 2
Wobec kemp > kα nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy, że rozkłsd reszt jest losowy

44. Wartości krytyczne testu serii

45.

46. Czy rozkład reszt modelu jest symetryczny?

W celu zweryfikowania
hipotezy
Z tablic testu t Studenta
• przyjęto poziom istotności
• dla przyjętego poziomu
testu a = 0,05:
istotności α oraz dla n-1
• m = 2 - liczba reszt dodatnich
stopni swobody
• n = 5 – całkowita liczba reszt
odczytuje się wartość
• następnie obliczono wartość
krytyczną t*
statystyki testowej temp = 1,67
• Dla n-1=5-1=4 stopni swobody • . Jeżeli |temp|≤t*, nie ma
podstaw do odrzucenia
wartość t*= 2,776.
hipotezy H0 i rozkład
reszt modelu jest
• Odp. Rozkład reszt jest
losowy, bowiem 1,67<2,776
symetryczny.

47. Czy występuje autokorelacja skladnika losowego?

• Jednym z założeń dotyczących modelu regresji
jest niezależność błędów obserwacji, czyli fakt,
czy występujące reszty w predykcji zmiennej
zależnej są ze sobą skorelowane.
• Dobrze dopasowane modele regresji zakładają, że
otrzymywane reszty (e) - błędy przewidywania
rzeczywistej wartości zmiennej zależnej na
podstawie utworzonego przez nas modelu regresji
- są niezależne od siebie,
• Oznacza to, że rozkład reszt jest losowy,
przypadkowy, bez stale występującego wzorca.

48.

• Sposobem określenia niezależności
błędów obserwacji jest wyznaczenie
autokorelacji składnika resztowego,
czyli korelacji r-Pearsona pomiędzy
kolejnymi resztami, powstałymi z
nieidealnego dopasowania modelu.
cov( t , t i )
i
D( t ) D( t i )
zależność korelacyjna składników losowych εt oraz
ich pierwszych opóźnień εt-i

49. Współczynnik korelacji Pearsona

• rxy jest miernikiem związku
liniowego między dwiema
cechami (zmiennymi)
mierzalnymi
• jest wyznaczany poprzez
standaryzację kowariancji
• kowariancja (wariancja
wspólna cech x i y) jest średnią
arytmetyczną iloczynu odchyleń
wartości liczbowych tych cech
(zmiennych) x i y od ich
średnich arytmetycznych
n
rxy
( x x)( y y )
i 1
i
i
n S ( x) S ( y )
cov( x, y )
rxy
S ( x) S ( y )
1 n
cov( x, y ) cov( y, x) ( xi x )( yi y ) x y x y
n i 1

50. Proces autokorelacji rzędu I

• Załóżmy, że składniki losowe εt związane są
zależnością:
t t 1 t
1
gdzie:
(t=1...,n-1)
zmienne losowe η są niezależne i mają jednakowy rozkład

51. Test Durbina-Watsona

• Test Durbina-Watsona (statystyka) służy do
oceny występowania korelacji pomiędzy
resztami (błędami, składnikami resztowymi).
• Sprawdzamy, czy składniki losowe modelu
pochodzą z procesu autokorelacji rzędu I.
• Przyczyną występowania zjawiska autokorelacji
składnika losowego w modelu są:
– natura procesów ekonomicznych (skutki pewnych
zdarzeń albo decyzji rozciągaja sie na wiele
okresów;
– niepoprawna postać analityczna modelu;
– niepełny zestaw zmiennych objasniających.

52.

53. Tablice testu Durbina-Watsona prezentują wartości krytyczne dL  oraz dU  dla odpowiedniej liczby obserwacji n oraz liczby

Tablice testu Durbina-Watsona prezentują wartości krytyczne dL oraz dU dla
odpowiedniej liczby obserwacji n oraz liczby zmiennych objaśniających k

54. Czy występuje autokorelacja reszt?

Statystyka d
• Dla modelu wartość:
n
d
2
(
e
e
)
t t 1
t 2
n
2
(
e
)
t
t 1
• d= 53,501/22,015=2,430
Obliczenia:

55.

• Zasadą jest, że wartości statystyk
testowych w zakresie od 1,5 do 2,5 są
stosunkowo normalne.
• Każda wartość spoza tego zakresu może
być powodem do obaw.
• Statystyka Durbina – Watsona, chociaż
wyświetlana przez wiele programów analizy
regresji, nie ma zastosowania w niektórych
sytuacjach.
• Np. gdy opóźnione zmienne zależne są
zawarte w zmiennych objaśniających,
niewłaściwe jest użycie tego testu.
English     Русский Rules