Теорема Виета

1.

Теорема Виета
Секция «Созидательная сила великих открытий в математике»
Автор:
Плющев Иван Олегович
9 а класс
МБОУ СОШ №12
Руководитель:
Прокофьева Тамара Александровна
учитель математики
1 квалификационной категории
МБОУ СОШ №12

2.

изучить биографию Франсуа Виета;
изучить подробности его великого открытия в
области математики;
разобраться с формулировками теоремы Виета;
сделать подборку задач, в которых
используется теорема Виета;
найти задачи с параметрами, в которых удобно
использовать теорему Виета;
посмотреть задачи ЕГЭ, в которых может быть
использована теорема;
попробовать весь найденный материал
привести в определенную систему.

3.

4. Теорема Виета

Знаменитая теорема,
устанавливающая связь
коэффициентов многочлена с
его корнями, была
обнародована в 1591 году.
Теперь она носит имя Виета.
Сам автор формулировал её
так: «Если B+D, умноженное на
А, минус А в квадрате равно BD,
то А равно В и рано D».

5.

Теорема Виета.
Если числа
х1
и х2
- есть корни квадратного уравнения
ах 2 вх с 0,
то для них выполнены равенства
х1 х2
х1 х2
Доказательство.
Пусть
х1
с
.
а
в
,
а
х2
и
являются корнями квадратного уравнения, т. е.
х1, 2
в
D
,
2а
тогда вычислим сумму и произведение корней:
х1 х2
х1 х2
в
D
в D
в
2а
2а
в D в D
в2
D
2
2а
2а
4а
Теорема доказана.
2
D в
2а
D
в
,
а
в2 D
в 2 в 2 4ас
4ас
с
.
2
2
2
4a
4а
4а
а

6.

Обобщенная теорема Виета.
х1
Для того чтобы
и
х2
были корнями уравнения
ах2 вх с 0
необходимо и достаточно выполнения равенств
х1 х 2
в
а
и
х1 х2
с
а
.
Из теоремы Виета при
а 1
следует утверждение для корней приведенного квадратного уравнения.
В этом случае обратная теорема часто используется для устного подбора корней уравнения.

7.

Теорема Виета для кубического уравнения
х1 , х2 , х3
Пусть
корни уравнения
ах вх сх d 0
3
а 0
2
,
тогда
в
х1 х2 х3 а ,
с
х1 х2 х1 х3 х2 х3 ,
а
d
х1 х2 х3 а .

8.

Теорема Виета для уравнения четвертой степени.
Пусть
х1 , х2 , х3 , х4
- корни уравнения
ах 4 вх 3 сх 2 dх т 0,
а 0,
тогда
в
х1 х2 х3 х4 а ,
х х х х х х х х х х х х с ,
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4
1 2
а
х х х х х х х х х х х х d ,
1 2 4
1 3 4
2 3 4
1 2 3
а
т
х1 х2 х3 х4 .
а

9.

Теорема Виета для алгебраического уравнения п степени.
Пусть
х1 , х2 ,..., хn
- корни уравнения
аn x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 0,
ап 0
, тогда
an 1
x
x
...
x
,
2
n
1
an
an 2
x
x
x
x
...
x
x
,
1 3
n 1 n
1 2
an
an 3
x
x
x
x
x
x
...
x
x
x
,
1 2 3
1 2 4
n 2 n 1 n
an
......................................................
x x x ...x x 1 n a0 .
n 1 n
1 2 3
an

10.

Зависимость между коэффициентами и корнями уравнения
а в с 0
х1 1
Решить уравнение
и
, тогда
х2
с
а
132 х 2 247 х 115 0
132 247
115 0,
,
х1 1, х2
.
115
132

11.

а в с 0
х1 1
и
, тогда
х2
с
а
Решить уравнение
345 х 2 137 х 208 0
345 137 208
, 0,
х1 1, х2
.
208
345

12.

Задача
Дано квадратное уравнение
x 2 px q 0
Составить квадратное уравнение, корни которого втрое больше корней данного уравнения.
Решение. Пусть х1 и х2 – корни данного уравнения.
По теореме Виета
x1 x2 p
и
x1 x2 q
.
По условию корни искомого уравнения равны
y1 3x1
и
y 2 3x 2
Отсюда
y1 y 2 3 x1 x2 3 p
и
y1 y 2 9 x1 x2 9q
По теореме, обратной теореме Виета получаем
x 2 3 px 9q 0
Ответ.
x 2 3 px 9q 0

13.

Задача с параметром
При каком значении параметра т три действительных корня уравнения х 9 х 25 х т 0
образуют возрастающую арифметическую прогрессию?
3
2
Решение. Пусть а – первый член арифметической прогрессии, с– разность арифметической прогрессии,
с 0
По формулам Виета
а а с а 2с 9,
а а с а с а 2с а а 2с 25,
а а с а 2с т;
а с 3,
2
2
3 а с с 25;
а с 3,
2
2
3а 6ас 2с 25;
с 2 2.
отсюда
с 0
По условию
с
2
,
, тогда
а 3
2
m a a c a 2c 21.
Ответ. 21.
.

14.

С помощью теоремы Виета можно решать задачи следующего
содержания:
подбирать устно целые корни приведенного квадратного
уравнения;
проверять с помощью обобщенной теоремы Виета полученные
корни квадратных уравнений при , не подставляя их в
исходное уравнение;
используя зависимости между коэффициентами, подбирать
устно корни уравнений с большими коэффициентами,
дающими громоздкие вычисления с помощью дискриминанта;
различные задачи на зависимость между коэффициентами и
корнями уравнений;
исследовательские задачи с параметрами;
задания из разных разделов алгебры и геометрии,
первоначально не связанных с решением уравнений;
задания из математических олимпиад по теме «Многочлены» и
«Алгебраические уравнения»;