Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8

1. Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье

МОИ
Лекция 8
1

2.

Представление сигналов в системе гармонических
колебаний (синусов и косинусов) и их анализ
(традиционный Фурье или частотный анализ),
получили большое распространение в радиотехнике и
связи.
Так, теория преобразования Фурье периодических и
непериодических функций вышла далеко за пределы
математических дисциплин, став мощной
теоретической базой в ряде прикладных областей,
таких как радиоэлектроника и радиотехника, теория
систем, теория автоматического регулирования,
теория сигналов и др.
2

3.

Сложный сигнал может быть представлен в
виде некоторой комбинации компонентов –
более простых колебаний (сигналов).
Если эти колебания имеют ясный физический
смысл, то свойства сигнала могут быть
объяснены в терминах самих колебаний.
Анализом сигналов называется процесс
определения и оценки величины
компонентов, осуществляемый некоторыми
техническими средствами по определенным
формулам.
3

4.

Произвольные периодические функции
представляют собой суммы простейших
гармонических функций – синусов и косинусов
кратных частот.
Эти суммы получили название
рядов Фурье.
Разложение периодического сигнала в ряд Фурье
и проведение преобразования Фурье
непериодических сигналов – являются
основными методов исследования их свойств и
характеристик
4

5.

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться
периодические сигналы. При этом они
представляются в виде суммы гармонических
функций либо комплексных экспонент (e2πνt )
с частотами, образующими арифметическую
прогрессию.
Чтобы такое разложение существовало,
фрагмент сигнала длительностью в один
период должен удовлетворять условиям
Дирихле:
5

6. Условия Дирихле:

Во фрагменте сигнала длительностью
в один период
Не должно быть разрывов второго рода
(с уходящими в бесконечность ветвями функции);
Число разрывов первого рода (скачков) должно быть
конечным;
Число экстремумов должно быть конечным;
В любой точке периода первая производная должна
быть конечной (или конечной является левая или
правая производная – условие Дини).
6

7.

Ряд Фурье может быть применен для
представления не только периодических
сигналов, но и сигналов конечной
длительности.
При этом выбирается временной интервал,
для которого строится ряд Фурье, в
остальные моменты времени сигнал
полагается равным нулю.
7

8.

В зависимости от конкретной формы
базисных функций различают несколько
форм записи ряда Фурье:
• Синусно-косинусная форма
• Вещественная форма
• Комплексная форма
8

9. Синусно-косинусная форма

Имеет следующий вид:
∞