Установим соответствие между элементами различных множеств

Графический способ решения (построение графа в виде дерева)

Построение логических выражений в виде дерева

Табличный способ решения логических задач

Решение логических задач с помощью кругов Эйлера

Повторительно – обобщающий урок по теме: Способы решения логических задач

3.72M

Category: $mathematics$ mathematics

Способы решения логических задач

1. 2. Способы решения логических задач:

1)
с помощью логических рассуждений;
2)
табличный;
3)
графический ;
4)
a)
графический (соответствие между множествами)
b)
графический (построение дерева)
c)
с помощью кругов Эйлера
средствами алгебры логики;
a)
составлением таблицы истинности;
b)
упрощение логических выражений (по законам логики);
упрощение логических выражений (задача про кросс);
c)
на ЭВМ составлением таблицы истинности средствами MS
Excel;
d)
на ЭВМ ( алгоритм, на языке Паскаль).
Составь блок - схему

3. Метод рассуждений

При составлении расписания на понедельник в IX
классе преподаватели высказали просьбу завучу.
1. Учитель математики: «Желаю иметь первый или
второй урок».
2. Учитель истории: «Желаю иметь первый или
третий урок».
3. Учитель литературы: «Желаю иметь второй или
третий урок».
Какое расписание будет составлено, если по каждому
предмету может быть только один урок?

4. Решение

• Пусть в просьбе математика первое
высказывание истинно, а второе – ложно.
«Желаю иметь первый или второй урок».
1
0
Т.е. первым будет урок математики.
• Тогда в просьбе учителя истории первое
высказывание ложно, а второе истинно, т.е.
третьим будет урок истории. «Желаю иметь
первый или третий урок».
0
1
• Значит, в пожелании учителя литературы
окажется истинной первая часть, т.е. урок
литературы будет вторым.
«Желаю иметь второй или третий урок».
1
Итак:
0
I урок – математика,
II урок – литература,
III урок – история.

5.

типы
задач
Предположим, что в высказывании учителя математики
первое высказывание ложно, а второе истинно.
«Желаю иметь второй или второй урок».
0
1
Т.е. вторым будет урок математики.
Тогда в просьбе учителя литературы первое высказывание
ложно, а второе истинно, т.е. третьим будет урок
литературы.
«Желаю иметь второй или третий урок».
0
1
А в пожелании учителя истории окажется истинной первая
часть, т.е. урок истории будет первым.
«Желаю иметь первый или третий урок».
1
0
Итак:
I урок - история
II урок - математика
III урок – литература.

6.

7.

Выделим высказывания
В лесу проводили кросс. Обсуждая его итоги, одна Белка
сказала:
«Заяц занял первое место, а лиса-второе».
Другая Белка возразила:
«Заяц занял второе место, а лось – первое».
На что Филин заметил, что в высказываниях каждой Белки
одна часть верная, а другая – нет.
Кто был первым в этом кроссе?

8.

Предположим, что в первом предложении
истинно
Пусть высказывание
1-я белка:
истинно
«Заяц занял первое место, а лиса-второе».
2-я белка:
«Заяц занял второе место, а лось – первое».
В результате исходного предположения мы
пришли к противоречию. Заяц не может занять
второе место – это ложь. Лось не может быть
первым - это ложь. В высказываниях каждой
Белки одна часть верная, а другая – нет.

9.

Предположим, что в первом предложении
истинно
Пусть высказывание
1-я белка:
истинно
«Заяц занял первое место, а лиса-второе».
Высказывание ложно
Высказывание
истинно
2-я белка:
«Заяц занял второе место, а лось – первое».
В результате исходного предположения
противоречия нет!!!
Ответ: первым в этом кроссе был лось

10.

В лесу проводили кросс. Обсуждая его итоги, одна
Белка сказала: «Заяц занял первое место, а лисавторое». Другая Белка возразила: «Заяц занял
второе место, а лось – первое». На что Филин
заметил, что в высказываниях каждой Белки одна
часть верная, а другая – нет. Кто был первым в этом
кроссе?
Введем простые высказывания
З1- заяц 1 место
З2 - заяц 2 место
Лс1- лось 1 место
Л2 - лиса 2 место
Составим логические выражения
1-я белка: З1 Л2
2-я белка: З2 Лс1
(З1 Л2) (З2 Лс1)=1; (З1+Л2) (З1+Лс1)=1;

11.

В лесу проводили кросс. Обсуждая его итоги, одна Белка сказала:
«Заяц занял первое место, а лиса-второе». Другая Белка
возразила: «Заяц занял второе место, а лось – первое». На что
Филин заметил, что в высказываниях каждой Белки одна часть верная,
а другая – нет. Кто был первым в этом кроссе?
(З1 Л2) (З2 Лс1)=1;
(З1+Л2)
(З1+Лс1)=1;
Раскроем скобки З1З2+Л2З2+З1Лс1+Л2Лс1=1;
Логическое умножение заведомо противоречивых
высказываний З1З2=0
Аналогично, Л2З2=0, З1Лс1=0.
З1З2+Л2З2+З1Лс1+Л2Лс1=1; Получим
Л2Лс1=1; Только в одном случае Л2=1 и Лс=1
Значит, Лось - 1 место, Лиса – 2 место.
Ответ: первым в этом кроссе был лось

12.

Задача «Уроки логики»
Если изучал первый, то изучал и второй, но
неверно, что если изучал третий, то изучал и
второй. Кто изучал логику?
Введем простые высказывания
Р1- первый изучал логику
Р2- второй изучал логику
Р3- третий изучал логику
Составим высказывание, выражающее
известные факты в условии задачи:
(Р1 →Р2) ¬(Р3 →Р2)
Составим таблицу истинности на
основании сформулированных простых и
составных высказываний

13.

Задача «Уроки логики»
(Р1 →Р2) ¬(Р3 →Р2) Составим таблицу истинности
1
4 3
2
Р1
Р2
Р3
Р1 →Р2
Р3 →Р2
¬(Р3 →Р2)
(Р1 →Р2) ¬(Р3 →Р2)
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
Из таблицы видно логику изучал третий ученик
Ответ: логику изучал третий ученик

14. Задача «Уроки логики»

(Р1 →Р2) ¬(Р3 →Р2) = 1
Используем формулу замены операций А →В=¬А В
(Р1 →Р2) ¬(Р3 →Р2)=(¬ Р1+ Р2) (¬(¬ Р3+ Р2))=
{закон де Моргана, закон двойного отрицания}=
(¬ Р1+ Р2) ¬ Р2 Р3= {закон дистрибутивности}=
¬ Р1 ¬ Р2 Р3+ Р2 ¬ Р2 Р3=
{можно опустить знаки умножения(конъюнкция)}
= ¬ Р1¬ Р2 Р3+ Р2 ¬ Р2 Р3=
{закон противоречия}= ¬ Р1¬ Р2 Р3 = 1;
¬ Р1¬ Р2 Р3 = 1;
Получили уравнение вида « произведение равно 1», в
нем все множители должны быть равны 1
Поэтому Р1=0, Р2=0, Р3=1
Ответ: логику изучал третий ученик

15. Установим соответствие между элементами различных множеств

Способы решения:
табличный;
графический.
В кафе встретились три друга: скульптор
Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов.
«Замечательно,что у одного из нас белые,у
другого черные ,а у третьего рыжие
волосы,но ни у кого цвет волос не
соответствует фамилии»,-заметил
черноволосый. «Ты прав»,- сказал Белов.
Какого цвета волосы у художника.

16. Графический способ решения

«Ни у кого цвет волос не соответствует фамилии»
заметил черноволосый. «Ты прав»,- сказал Белов
Белов не черноволосый
Белов
черные
Рыжов
белые
Чернов
рыжие

17. Графический способ решения

Белов может быть только рыжеволосым
Белов
черные
Рыжов
белые
Чернов
рыжие

18. Графический способ решения

Чернов может быть только блондином
Рыжов черноволосый
Белов
черные
Рыжов
белые
Чернов
рыжие

19. Графический способ решения

Три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и
художник Рыжов. Какого цвета волосы у художника?
Белов
черные
Рыжов
белые
Чернов
рыжие
типы
Ответ: у художника черный цвет
задач

20. Упорядочим множество

В очереди за билетами в кино стоят:
Юра, Миша, Володя, Саша и Олег.
Известно, что:
1.Юра купит билет раньше, чем Миша,
но позже Олега.
2.Володя и Олег не стоят рядом.
3.Саша не находится рядом ни с
Олегом, ни с Юрой, ни с Володей.
Кто за кем стоит?

21. Упорядочим множество

Известно, что:
1.Юра купит билет раньше, чем Миша, но позже Олега.
Олег
Юра
Миша
2. Володя и Олег не стоят рядом.
3. Саша не находится рядом ни с Олегом, ни с Юрой,
ни с Володей.
типы
задач
Олег
Юра
Олег
Юра
Володя
Миша
Саша
Миша
Саша

22. Графический способ решения (построение графа в виде дерева)

F A&B
конъюнкция
F A+B
дизъюнкция
B
A
A
B

23. Построение логических выражений в виде дерева

F A&(B+С)
С
B
A
F (A+В)&(B+С)
B
С
С
B
A
B

24. Решение задач

Задача 1. В соревнованиях по информатике на
первенство колледжа участвуют Аня, Валя, Тамара и
Даша. Болельщики высказали предположения о
возможных победителях:
1) Аня будет второй, Даша – четвертой
2) второй будет Тома, Даша – третьей
3) первой будет Тома, Валя – второй
По окончании соревнований оказалось, что
в
каждом
предположении
только
одно
из
высказываний истинно, другое - ложно. Какое место
на соревнованиях заняла каждая из девушек, если все
они оказались на разных местах?

25. Решение задач

Запишем каждое высказывание в буквенном
виде:
1) Аня будет второй, Даша – четвертой
2) второй будет Тома, Даша – третьей
3) первой будет Тома, Валя – второй
Учтем, что в каждом предположении только одно из
высказываний истинно, другое - ложно.
A2 Д 4 или А2 Д 4
Т 2 Д 3 или Т 2 Д 3
Т1 В2 или Т1 В2

26. Решение задач

Решение
Для решения данной задачи составим систему
уравнений
A2 Д 4 А2 Д 4 1
Т 2 Д 3 Т 2 Д 3 1
Т1 В2 Т1 В2 1
Поскольку между строками матрицы стоит
операция конъюнкция каждое уравнение будет
вырастать из предыдущего

27.

Решение задач
Построение дерева.
3
2
1
В2
В2
В2
В2
Т1
Т1
Д3
Д3
В2
Т1
Т1
Т1
5
4
Т2
6
В2
Т2
Т2
Д4
A2
А2
В2
Т1
Д3
Т2
Д4
8
В2
Т1
Д3
7
Т1