Принцип Дирихле

1.

МАОУ НИЖЕГОРОДСКАЯ СШ
ТЕМА:
Выполнил учащийся 7 класса
Филиппов Кирилл
Руководитель проекта:
Осминкина Людмила Викторовна
п. Нижегородец, 2019 г.

2.

Информация об авторе проекта:
1.Филиппов Кирилл (дата рождения: 02.02.2005 г.)
2.Хобби: занятия спортом (футбол), участие в
дистанционных олимпиадах
3.Особенности личности: коммуникабельный,
исполнительный, инициативный,
самостоятельный, целеустремлённый,
дисциплинированный, развито чувство
ответственности.

3.

Целеполагание:
ЦЕЛЬ МОЕГО ПРОЕКТА:
Изучить один из основных методов математики –
принцип ДИРИХЛЕ
ЗАДАЧИ:
• Рассмотреть различные формулировки принципа Дирихле
• Научиться применять изученный принцип к решению задач

4.

Постановка проблемного вопроса.
Я выбрал эту тему, потому что мне стало интересно
подробнее узнать и разобраться в математическом
методе – принципе Дирихле. Знакомство с данным
методом расширяет круг решаемых задач, учит
мыслить
нестандартно,
развивает
сообразительность, помогает найти наиболее
рациональный подход при решении задач
олимпиадного уровня.

5.

ПЛАН:
1. Биография Дирихле
2. Принцип Дирихле:
- Формулировка 1
- Формулировка 2
3. Алгоритм применения принципа Дирихле
4. Задачи:
- 1 тип
- 2 тип
- Геометрические задачи
5. Выводы
6. Список используемых источников:
- Книги
- Электронные ресурсы

6.

БИОГРАФИЯ
Дирихле Петер Густав Лежен
родился 13.02.1805 года в
Вестфальском городе Дюрене
в семье почтмейстера.
•В
12 лет Дирихле начал учиться в гимназии в Бонне, спустя два
года в иезуитской гимназии в Кёльне, где в числе прочих
преподавателей его учил Георг Ом.
• С 1822 по 1827 г. Жил в качестве домашнего учителя в Париже.
• В 1827г. устраивается на должность приватдоцента университета
Бреслау (Вроцлав).
• В 1829 г. он перебирается в Берлин, где проработал непрерывно
26 лет, сначала как доцент, затем с 1831 г. как экстраординарный
профессор.

7.

• В 1854 г. он избран в число иностранных
членов парижской академии.
• В 1831-1855 годах - профессор
Берлинского университета, а в 1855 г.
Дирихле становится в качестве
преемника Гаусса профессором высшей
математики в Гёттингенском
университете.
• В 1890 г. по распоряжению Берлинской
академии издано полное собрание его
сочинений

8.

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
Принцип Дирихле
устанавливает связь
между объектами и
контейнерами при
выполнении
определённых условий.
По традиции принцип
Дирихле объясняют на примере
"зайцев и клеток". При
применении принципа Дирихле
для решения конкретной задачи,
необходимо разобраться, что в
ней — "клетки", а что —
"зайцы". Это обычно является
самым трудным этапом в
доказательстве.

9.

ФОРМУЛИРОВКА 1
Если в n клетках сидит
n +1 зайцев или больше
зайцев, то найдётся клетка,
в которой сидят по крайней
мере два зайца .
Например:
Если в 4 (или n) клетках сидит 5
(или n+1) зайцев, то хотя бы в
одной клетке находится более
одного зайца (2 зайца).

10.

Если в n клетках сидит m
голубей, причем m < n, то
хотя бы одна клетка
останется свободной.
Например:
Если в 12 (или n) клетках
сидит 11 (или n-1)
голубей, то хотя бы одна
клетка остается
свободной.

11.

ФОРМУЛИРОВКА 2
Предположим, m зайцев рассажены в
n клетках.
Тогда если m > n, то хотя бы в одной
клетке содержится не менее m:n
зайцев,
а так же хотя бы в одной другой
клетке содержится не более m:n зайцев.

12.

АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ
1. Определить что в задаче является "клетками", а что-"зайцами".
2. Применить соответствующую формулировку (утверждение)
принципа Дирихле:
2.1. "Если в n клетках сидят не более n-1 "зайцев", то
есть пустая "клетка".
2.2."Если в n клетках сидят n + 1 «зайцев", то есть
клетка, в которой не менее 2-х "зайцев".
2.3."Если в n клетках сидят не более nk-1 "зайцев", то в
какой-то из клеток сидят не более k-1 "зайцев".
2.4."Если в n клетках сидят не менее nk+1 "зайцев", то
в какой-то из клеток сидят не менее k+1 "зайцев".

13.

ЗАДАЧА 1
На олимпиаде 10 школьников решили в сумме 35 задач,
причем среди них были решившие ровно 1 задачу, ровно 2
задачи и ровно 3. Докажите, что кто-то из них решил не
менее пяти задач.
Решение: т.к. трое в сумме решили 6
задач (1+2+3=6), то останется еще 7
школьников, решивших в сумме 29 задач.
Задачи – это «зайцы», «клетки» -ученики
29:7=4(ост1). В каждую «клетку» (ученику)
мы можем посадить 4 «зайца» (задачи) и
ещё одна останется. Значит её решил
один из учеников, т.е. один ученик решил 5
задач.

14.

ЗАДАЧА 2
В чемпионате по футболу принимают участие 10 команд.
Каждые две команды должны сыграть между собой один матч.
Доказать, что в любой момент найдутся две команды, сыгравшие
одинаковое число матчей.
Решение: Построим 10 клеток: для команд, которые сыграли 0
матчей; для команд, сыгравших ровно 1 матч; для команд,
сыгравших ровно 2 матча; …; для команд, сыгравших 9
матчей (максимальное число матчей). Не может быть такого,
чтобы в один момент одна из команд не сыграла ещё ни
одного матча, а вторая сыграла 9 матчей, то есть сыграла со
всеми командами. Получаем, что либо клетка 0 пустая, либо
клетка 9 пустая. В обоих случаях на 9 клеток, которые
остались, приходится 10 команд. Следовательно по принципу
Дирихле найдется одна клетка где будет две команды, то есть
две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.

15.

ЗАДАЧА 3
В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трёх сортов, причем в
каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли
найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?
Пусть «клетки» - сорта, «зайцы» ящики. Предположим, что нельзя.
Тогда в «клетки» положим 8
«зайцев». Так как «клеток» - 3, то
«зайцев» -3*8 = 24, а у нас 25.
Следовательно, можно.

16.

ЗАДАЧА 4
В ковре размером 4×4 метра моль
проела 15 дырок. Всегда ли можно
вырезать коврик размером 1×1, не
содержащий внутри дырок?
Предположим
противоположное. Нельзя вырезать коврик
размером 1×1. Коврик размером 4×4 можно без
проблем разрезать на 16 ковриков 1×1. Если из
исходного коврика нельзя вырезать коврик 1×1,
то ни один из 16 получившихся ковриков тоже не
годится. А это значит, что в каждом из них
есть хотя бы одна дырка. А это значит, что на
коврике 4×4 есть хотя бы 16 дырок. А их по
условию всего 15, противоречие. Значит, можно
вырезать коврик размером 1×1.

17.

ВЫВОДЫ:
1. Принцип Дирихле важен и полезен.
2. Его можно применять в повседневной жизни,
что развивает логическое мышление.
3. Многие олимпиадные задачи решаются на
основе этого специального метода, поэтому
его целесообразно изучать самостоятельно
или во внеурочной деятельности.

18.

Список используемых источников:
КНИГИ
1. Андреев А.А., Горелов Г.Н., Люлев А.И., Савин А.И.
"Принцип Дирихле", Самара "Пифагор", 1997.
2. Д. X. Муштари. Подготовка к математическим олимпиадам:
задачи, темы, методы. Казанский ун-т, 1990.
3. В. Г. Болтянский. Шесть зайцев в пяти клетках. // Ж-л
«КВАНТ», 1977,No2.
4. Ю. Ф. Фоминых. Принцип Дирихле. // Ж-л «Математика в
школе».

19.

ЭЛЕКТРОННЫЕ РЕСУРСЫ:
1. images.yandex.ru (фото Дирихле, картинки о
школе)
2. http://bars-minsk.narod.ru/teachers/dirichle.html
3. http://www.bestreferat.ru/referat-4776.html