Гидродинамика Солнца. (Лекция 6)

1. Гидродинамика Солнца

Лекция 6

2. Дифференциальное вращение Солнца на поверхности

По пятнам (Newton & Nunn, 1951):
Ω Ω0 (1 b cos ),
2
θ = π/2 – ψ ― коширота (полярный угол),
Ω0 = 2.90 × 10– 6 ― угловая скорость
на экваторе,
b = 0.19

3. Дифференциальное вращение Солнца на поверхности

По Допплеру (Howard et al., 1983):
Ω Ω0 (1 b cos c cos ),
2
4
θ = π/2 – ψ ― коширота (полярный угол),
Ω0 = 2.87 × 10– 6 ― угловая скорость
на экваторе,
b = 0.12,
c = 0.17

4. Дифференциальное вращение Солнца на поверхности

Ω, мкрад/с
Дифференциальное вращение
Солнца на поверхности
sin ψ
Сплошная линия – Допплер, штриховая – пятна

5. Дифференциальное вращение Солнца по данным гелиосейсмологии

Ω/(2π), нГц
Дифференциальное вращение
Солнца по данным гелиосейсмологии
Лучистая
зона
Конвективная
зона
r/R

6.

Элементы теории
дифференциального
вращения

7. Дифференциальное вращение ― результат взаимодействия конвекции и вращения

А. И. Лебединский (1941):
сила
Кориолиса воздействует на конвективную
турбулентность;
в свою очередь,
турбулентность возмущает вращение и
делает его неоднородным

8. Уравнение Навье – Стокса

v
p
1
( v ) v
g ( v)
t
ij
в i - м уравнении : ... 1
x
j
vi v j 2
ij ( v )
ij div v
x
x
3
j
i
(тензор вязких напряжений без учета второй вязкости)

9. Приближение неупругости (anelastic approximation). Разделение средней и флуктуирующей составляющих поля скоростей

div v 0 div v 0
t
v V u,
v V,
u 0
div V 0
div u 0
или
div u u j
0
x j
ui div u ui u j
x j

10. Усредненное уравнение Навье – Стокса

V u
(V )V (V )u (u )V ((uu ))uu
t t
P
1
1
g (V ) (u)
V
P
(V )V (u )u
g
t
(u ) ui u j
ui
(uiu j ) ui
uj
x j
x j
x j
(uiu j ) ui div u
x j

11. Усредненное уравнение Навье – Стокса

(uiu j ) ui div u
ui div u uiu j
x j
x j
(u ) ui
(uiu j ) uiu j
( ui u j )
x j
x j x j
(u ) ui
V
( V ) V P g
u j ui
x j
t
V
(V )V P g R
t
Напряжения Рейнольдса
Rij Qij
Qij uiu j

12. Усредненная скорость в сферических координатах

1
V V Vm e r Ω sin rot e
r sin
Ω Ω (r , ) (дифференциальное) вращение
Vm Vm (r , ) меридиональная циркуляция
1
Vm rot e
r
sin
r sin
1
e
e
r
r
r

13. Азимутальная компонента усредненного уравнения Навье – Стокса

V
( V ) V R
t
Rij Qij uiu j
1
[(V )V ] | V |2 [Vm [ V ]]
2
1
1
rot V
(sin V )e r
(rV )e
r sin
r r
V
V
[Vm rot V ] r (rV )
(sin V ) e
r sin
r r

14. Азимутальная компонента усредненного уравнения Навье – Стокса

V
V
[(V )V ] [Vm rot V ] r (rV )
(sin V ) e
r sin
r r
С другой стороны :
div( r sin V Vm )
r sin V div( Vm ) Vm (r sin V )
1
Vm (r sin V )е r
(r sin V )е
r
r
V
Vr
r sin
(r V )
(sin V ) r sin [(V )V ]
r sin
r r

15. Азимутальная компонента усредненного уравнения Навье – Стокса

V
( V ) V R
Rij Qij uiu j
t
R
в i - м уравнении : ... ij
x
j
V
[(V )V ] div u u
t
Ω
r sin
div ( r sin u u r 2 sin 2 ΩVm )
t
2
2
( r 2 sin 2 Ω момент импульса, связанный с Ω )

16. Диссипативные и недиссипативные потоки момента импульса

Qij Qij Qij
(при однородном вращении Qij 0)
Основная причина неоднородности вращения ―
Λ-эффект: присутствие ненулевого
турбулентного потока момента импульса в
однородно вращающейся среде
(А.
И. Лебединский, 1941)
Такой поток может возникать при ненулевых
значениях Qφr и Qφθ

17. Установившийся режим вращения

Дифференциальное вращение баланс
между недиссипативным потоком
момента импульса и потоком,
обусловленным турбулентной вязкостью
(eddy viscosity); при таком балансе
дивергенция полного потока = 0 (вектор
потока соленоидален, хотя сам поток
может быть и ненулевым)

18. Меридиональная циркуляция

r 2 sin 2
Ω
div ( r sin u u r 2 sin 2 ΩVm )
t
( r 2 sin 2 Ω момент импульса, связанный с Ω )
Диссипативная составляющая корреляций :
Vk
Qij N ijkl
rl
Тензор Tурбулентных вязкостей для изотропной Tурбулентности
в невращающейся среде :
2
N ijkl T ik jl il jk ij kl T ij kl
3

19. Азимутальная компонента ротора уравнения Навье – Стокса для усредненного течения

rot
P
R
(V )V
g
Rij Qij uiu j
Ω 2 1
r sin
2 [ P ] D( )
z
Градиент в направлении оси вращения :
1
cos
sin
( z r cos )
z
r r
[вKЛад O (Vm2 ) опущен]
1
Vkm
Правая часть : D( ) (e ) n nmi
Nijkl
rm rj
rl

20. Уравнение для меридиональной циркуляции

S cv ln
P
S P
cp P
1
1
1
g S
[ P ]
[ S P ] [ S g]
2
cp
cp
c p r
Ω 2
g S
1
Vkm
r sin
(e ) n nmi
N ijkl
z c p r
rm rj
rl

21. Источники меридиональной циркуляции

Ω 2
g S
1
Vkm
r sin
(e ) n nmi
N ijkl
z c p r
rm rj
rl
Непотенциальная составляющая центробежной силы
Бароклинность : [ P ] 0
При больших Ω (иили
T ) Tурбулентная вязкость
(
не может уравновесить центробежные силы
Ω / z 0 (" загадка числа Тейлора" )

22. Разрешение загадки числа Тейлора

Распределение угловой скорости определяется
балансом между центробежным и бароклинным
источником меридионального течения (балансом
Тейлора – Праудмана)
Ω 2 1
Ω 2
g S
D ( ) r sin
2 [ P] r sin
z
z c p r
(меридиональное течение – малым отклонением от этого баланса
плохая обусловленность обратной задачи нахождения
меридионального течения по распределениям Ω и Т)

23. Наблюдения меридиональной циркуляции

Допплеровские измерения на поверхности:
течение от экватора к полюсу с максимальной
скоростью ~ 10 м/с
(гелиосейсмология: это течение прослежено до
глубин ~ 12 Мм)
+
Нестационарное течение с меньшими
скоростями, сходящееся к широте с
максимальной частотой пятнообразования
(широта меняется с циклом активности)

24. Происхождение бароклинного источника меридиональной циркуляции

Fi
conv
S
T ij
rj
Ωi Ω j
*
*
ij T (Ω ) ij || (Ω ) 2
Ω
(Ω* – безразмерная угловая скорость)
Анизотропия турбулентной температуропроводности
(χ║
> χ ) полюса чуть теплее экватора. Для разрешения
«загадки числа Тейлора» требуется, чтобы два источника
циркуляции (действующие противоположно друг другу)
были одного порядка. Нужна разность температур ~ 1 К.

25. Вычисление напряжений Рейнольдса

Вычитаем из уравнения движения
уравнение для средней скорости :
ui ij (u)
uiu j uiu j
t
rj
rj
P
2 ijk u j k
( uiV j u jVi )
ri ri

26. Вычисление напряжений Рейнольдса

Приближение средней длины перемешивания :
ui ij (u)
u
ui u j ui u j i
t
rj
rj
t nl
t nl l / u
2 1/ 2
Квазилинейное приближение отбрасывание
нелинейных членов
Интенсивность исходной турбулентности (в невращающейся
среде) рассчитывается по теории пути перемешивания:
u
2
l 2 g S
4c p r

27. Происхождение Λ-эффекта

2 l 2
l
, ~ lu , u
tnl
2 tnl
u 2 ur t nl sin
ur u ur 2 sin 0
ur u u
2
r
sin 0
2 h 2
2 t nl
uruφ > 0

28. Происхождение Λ-эффекта

ur 2 u t nl sin
ur u u 2 sin 0
2
ur u u
uruφ > 0
sin 0
Q u
Λ
r
2
u
2
r
sin

29. Источники Λ-эффекта

Анизотропия турбулентности
Неоднородность турбулентной среды [дает
основной вклад уже для τ ≈ 6 (среднее значение
по конвективной зоне Солнца) и является
определяющей при τ >> 1]
Стратификация конвективных зон близка к
изэнтропической! модели не содержат
свободных параметров

30. Заключительный этап построения модели

Расчет эффективных вязкостей и
температуропроводностей для
вращающейся турбулентной среды

31. Общая схема формирования дифференциального вращения

32. Трудности ранних моделей

– Чисто гидродинамические модели:
• дифференциальное вращение меньше наблюдаемого
• цилиндрическая симметрия Ω
• меридиональная циркуляция от полюсов к экватору
– «Чисто» термодинамические модели:
• требуется слишком большая дифференциальная температура
(противоречащая наблюдениям)
меридиональная циркуляция от полюсов к экватору
– Большое количество свободных параметров

33. Современные модели

Единственный свободный параметр –
коэффициент α:
l = αHP
Наилучшие результаты – при 1.5 < α < 2

34. Дифференциальное вращение Солнца по расчетным данным

35. Дифференциальное вращение Солнца по данным гелиосейсмологии

Ω/(2π), нГц
Дифференциальное вращение
Солнца по данным гелиосейсмологии
Лучистая
зона
Конвективная
зона
r/R

36. Литература

Л.Л. Кичатинов. Дифференциальное
вращение звезд. УФН, 175 (5), 457–476,
2005.