Гидростатическое давление. Задачи

1. Казахского Национального Исследовательского Технического Университета имени К.И. Сатпаева. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ

2.

ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ
Силы, действующие в жидкости, деляться на внутренние и внешние. К
внутренним относятся: взаимное давление частиц друг на друга,
молекулярные силы притяжения и отталкивания, силы сцепления и т. п.
Внешние силы делятся на поверхностные и объемные. Поверхностные
силы действуют на поверхность жидкости. К ним относятся: атмосферное
давление, давление сжатого воздуха,(пара или газа), давление поршня,
реакции стенок и др. Массовыми силами называются силы, величина которых
пропорциональна массе или объему жидкости. К ним относятся сила тяжести,
сила энерции, центробежная сила, сила упругости и др.
Гидростаическим давлением называется
напряжение, возникающее в
P
жидкости под действием сжимающих сил
A
P
PA lim
S 0 S
где:
S(1.12)
PA- гидростатическое давление в точке А;
∆S- элементарная площадка, содержащая точку А;
∆P- сжимающая сила, действующая на площадку ∆S .
Гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали к
площадке и не зависит от ориентации этой площадки.

3. Еденицей давления в системе СИ является паскаль (Па). Более удобными для практического использования являются килопаскаль ( и

Еденицей давления в системе СИ является паскаль (Па). Более
удобными для практического использования являются килопаскаль (кПа 103 Па
и мегапаскаль ( МПа 106 Па ).
В технике для измерения давления используют еще техническую и
физическую атмосферы.
При решении большинства задач этой главы используется основное
уравнение гидростатики
P
Z const
(1.13)
где: - геометрическая высота, т.е. расстояние от
произвольной точки А до тплоскости сравнения 0=0
(произвольная плоскость);
Р - полное гидростатическое давление в этой
точке;
- объемный вес жидкости.
Полное гидростатическое давление в точке
определяется по формуле:
0 h
(1.14)
где: 0 – полное давление на свободной поверхности;
h – глубина погружения точки.
Для открытых сосудов давления 0 равно атмосферному а.

4. Величина превышения полного гидростатического давления  над атмосферным (а) называется избыточным или манометрическим

Величина превышения полного гидростатического давления над
атмосферным ( а) называется избыточным или манометрическим
давлением:
a a 0 h a
(1.15)
Недостаток полного гидросатического давления до атмосферного
называют вакууметрическим давлением или вакуумом:
в
а
(1.16)
Величина атмосферного давления существенно зависит от высоты
над уровнем моря.
Отношение манометрического давления к объемному весу
называется пьезометрической высотой, а вакуума к объемному весу –
P
P
вакууметрической высотой: hM È ; hB B .
Задача 1. Определить высоту столба на пъезометре (рис. 1.3.), если
вода в закрытом сосуде находится под полным давлением Р0 = 0,12 МПа,
h = 0.5 м.
Решение: Составим уравнения равновесия для общей точки А:
давление в точке А справа Рспр = Р0 = h ; давление в точке А слева
H
РСЛ = Р а +
.
6
Приравнивая правые части, получимH P0 Pa h 0,12 0,1 10 0,5 2,54 м
9810
Значения объемного веса = 9810 Н/м3 находим по таблице 1.3

5. Задача 2. К закрытому баллону подведены две трубки с ртутью. Определить высоту столба ртути в закрытом сверху трубки h2, если в

открытой трубке высота
h1= 0,3 м. Атмосферное давление принять
равным а = 0,1 МПа, а атносительный вес
ртути = 13,6.
Решение: Давление на поверхности
ртути в открытой трубке а
уравновешивается давлением столба ртути
высотой h1 и давлением воздуха в резервуаре
Р, следовательно по формуле (1.16) имеем:
a сын h1
С другой стороны, давление воздуха в резервуаре
уравновешивается давлением столба ртути высотой h2: сын h.2
Приравнивая правые части, получим h2 a .h1
рт
Из формулы (1.7), определяем объемный вес ртути рт = рт
Подставляя в предыдущую формулу, получим:
a
0,1 106
h2
h1
0,3 0,45 м
сын
13,6 9810

6. Задача 3. Определить избуточное давление воздуха в напорном баке по показаниям ртутного батарейного манометра. Верхние уровние

в
баке и ртути в трубах удалены от горизонтальной плоскости отсчета на:
h0 = 2,5 м; h1=0,9 м; h2=2 м; h3=0,7 м; h4=1,8м.
Решение: Переходя последовательно от плоскости А к плоскости В и
т.д., прибавляя к атмосферному давлению давление столбиков ртути и
вычитая давление соответствующих столбиков воды, получим :
0 а рт h4 h3 в h2 h3 рт h2 h1 в h0 h1
a рт h4 h3 h2 h1 в h3 h2 h0 h1 .
Откуда избыточное давление а и согласно формуле (1.15) будет:
а и 0 а рт h4 h3 h2 h1 в h2 h3 h0 h1
Из формулы следует, что при любом числе U-образных трубок
избыточное давление определяется суммой всех “ртутных перепадов” за
вычетом всех “водяных перепадов”.
Значения объемных весов ртути рт = 132 886 H/м3 и воды рт = 9 810
H/м3. находим по таблице 1.3.
0 и 132886 1,8 0,7 2 0,9 9810 2 0,7 2,5 0,9 321779 Н / м2 Па 0,322 МПа

7. Задача 4. Определить при помощи дифференциального манометра разность давлений в точках А и В двух трубопроводов, заполненных

водой. Высота столба ртути h = 0.2 м, а ее относительный вес рт = 13,6.
Решение: Составим уравнения равновесия относительно плоскости
0-0: давление справа пр = А ; давление слева лев = В +
h1 рт h
h2
Приравнивая правые части, получим: В = +
h2 А h1 рт h
откуда разность давлений:
= В - А = - (h1 - h2) = h ( рт - ).
Объемный вес ртути находим из формулы (1.7)
рт = рт
• Подставляя рт в предыдущую формулу, получим
= h( рт - 1) = 9810 . 0.2 (13.6-1) = 24,7 КПа
0,25 атм.
Значение объемного веса воды = 9 810 Н/м3
находим по табл. 1.3.

8. Задача 5.Указатель уровня топливного бака выполнена в виде U-образной трубки с ртутным затвором. Найти зависимость между

понижением в
баке h1 и понижением в уровня h2 в открытой ветви
прибора
от
начальных
положений.
Решение: Введем дополнительные обозначения:
X – расстояние от начального уровня в баке
до
начального уровня ртути в левом колене;
Y – расстояние от начального положения
уровня открытой трубки до начального уровня ртути
правом
колене,
Z – начальная разность уровней ртути.
Составим уровнения равновесия избыточных давлений относительно
поверхности раздела жидкостей в правом колене (плоскость I-I): Давление
справа сп Y ; Давление слева СЛ X + рт Z
Приравнивая правые части, получим Y X + рт Z (а)
Давление, создаваемое топливным столбом в правом колене, постоянно,
поэтому понижение уровня в баке вызывает изменеие высоты ртутного
столба, определяемое расстоянием между сечениями II-II`.

9. Запишем уравнения относительно плоскости II-II правого колена  (Х - h1 - h2) + (Z + 2h2). (б) Приравниванивая правые части

Запишем уравнения относительно плоскости II-II правого колена
(б)
Y (Х - h1 - h2) + рт (Z + 2h2).
Приравниванивая правые части уравнений (а-б) и раскрывая скобки,
получим после сокращений
h2
2 сын
h1
Задача 5. Трубка диаметром d = 0,08 м опущена одним концом в воду,
закрытым тонкой стеклянной пластинкой. Определить вес керосина GК,
который может быть удержан давления воды на пластинку, и высоту столба
керосина hк, если глубина погружения h 0,2 м, вес пластинки GПЛ 0,49
Н, относительный вес керосина К 0,9.
Решение: Составим уравнение равновесия FZ = P – GК – GПЛ 0.
Сила, действующая на плостинку снизу, равна произведению площади на
избыточное давление:
d2
и;
и b h
4

10. Вес керосина определится:     Высота столба керосина будет равна:     Задача 6. В гидравлическом домкрате диаметр малого порня

Вес керосина определится:
Gk
d2
4
3,14 0,08 2
b h Gпл
9810 0,2 0,49 9,4 Н .
4
Высота столба керосина будет равна:
hk
4Gk
4 9,4
0,212 м.
2
2
k b d
0,9 9810 3,14 0,08
Задача 6. В гидравлическом домкрате диаметр малого порня d=0,016
м, диаметра большого поршня D=0,32 м, плечо рычага а =0.8 м, в 0,2 м.
Какую силу может развить домкрат на большом поршне, если сила,
приложенная к рычагу, F=98 Н, вес порня GП=1471,5H, коэффициент
полезного действия домкрата 0,8.
Решение: Силу, развиваемую домкратом, определяем Р (Р2-GП) .
Гидростатическое давление р, создаваемое под малым поршенем, по
закону Паскаля передается на большой поршень, следовательно :
P P
4P
4P
; откуда P D P
P
2
1
2
S1
S2
1
d2
2
D2
2
2
d
1
Сила Р1, действующая на малый поршень, определится и равенства:
a
.
P1 b F a , откуда P1 b F
Подставляя в исходную формулу Р1 и Р2, получим:
2
a D 2
0,8 0,32
P F G 98
1471,5 0,8 123,5 kH
0,2 0,016
b d

11. Задача 7. Определить необходимый вес груза гидравлического аккумулятора, если рабочее давление масла Рн 0,687 МПа, вес поршня

Задача 7. Определить необходимый вес груза
гидравлического аккумулятора, если рабочее давление
масла Рн 0,687 МПа, вес поршня Gп=14715H, а диаметр
D=0,2 м. Какое давление необходимо для зарядки
аккумулятора, если ширина уплотняющей манжеты
в=0.034 м, а коэффициент трения кожи о поршень f=0.1?
Решение: Уравнение равновесия поршня при движении
вниз в момент разрядки .P T p Gгр Gu 0 Сила давления
масла:
D2
P Pu
4
Сила трения в момент разрядки T p f N f Pu Db
Подставляя Р и Тр в исходную формулу, получим:
D
0,25
Gгр D Pu f b Gn 3,14 0,25 687 10 3
0,1 0,034 14715 20878H .
4
4
Уравнение равновесия поршня при движении вверх в момент зарядки:
P Tз Gгр Gn 0.
Силы давления масла и трения: P Pз
Подставляя Р и Т, получим:
Pз
D2
4
,
Tз f Pз D b
Gгр Gn
20878 14715
0,767 МПа.
D
0,25
D f b 3,14 0,25
0,1 0,034
4
4

12. Задача 8. Гидравлический мультипликатор служит для повышения давленияв гидросистеме. Определить давление рс в мультипликаторе с

размерами D = 0,125 м,
d = 0,05 м, весом подвижных частей G = 2943 H, если
давление, создаваемое насосом, РН = 10МПа, а
коэффициент полезного действия мультипликатора
=0,85.
Решение: Составим уравнение равновесия
поршня со штоком: P1 G P2 0. Сила давления на
поршень снизу:
D2 .
P1 Pu
4
Сила давления на шток сверху:
.
Подставляя Р1 и Р2, получим: Pн
P2 Pc
D2
4
Pc
.
Откуда давление в гидросистеме рс с учетом :
d2
4
d2
4
G 0
2
7 0,125 2
4G
4 2943
D
Pc н
10
0,85 51,85 МПа
2
2
d
d
0
,
05
3
,
14
0
,
05

13. Задача 9. Силовой гидроцилиндр, служащий для привода рабочего органа, имеет нагрузку на штоке F=9810 H. Сила трения поршня и

штока
составляет 10% от сил полного давления на поршень. Давление слива
Рс=0,3 МПа.
Определить давление, создаваемое насосом производительностью
QН=0,001 м3/с, и время совершения рабочей операции, если гидроцилинд
имеет размеры: D=0.1 м,: диаметр штока d=0,06; ход поршня S=0,6 м.
Решение: Составим уравнение равновесия поршня Р1-Р2-Т-F=0:
Принимая во внимание, что Т=0.1(Р1-Р2), получим
0.9*Р1-0.9*Р2-F=0
D2
Сила давления на поршень слева : P1 Pн 4
Сила давления на поршень справа : P P 4 D d
Подставляя в формулу (а), получим: 0,9 P D 0,9 P D
2
2
(а)
2
c
2
u
4
D2 d 2
4F
0,12 0,06 2
4 9810
PH
Pc
0,3
1,58 МПа
2
2
2
D
0,9 D
0,1
0,9 3,14 0,12
c
2
d 2 F 0,
откуда:
Время совершения рабочей операции находим из формулы равномерного
S
движения T V . Скорость поршня со штоком:
4 QH
n
Vn
D2
Подставляя в следущую формулу Vn, получим:
.
D 2 S 3,14 0,12 0,6
T
4,7 c
4QH
4 0,001

14. Задача 10. Тарелка всасывающего клапана насоса диаметром d2=0,125 м закрывает отверстия для прохода воды диметром d1=0,1м.

Какоеразряжение необходимо создать в момент пуска насоса во
всасывающей трубке, чтобы всасывающий клапан открылся, если уровни
воды h1=1 м, h2=2 м? Атмосферное давление принять равным ра=98 КПа.
Решение: Разряжение во всасывающей трубе определяем по формуле
(1.16):
PB PA PX
Полное давление в трубопроводе определяем из условия равенства сил,
действующих на клапан, Р1 и сверху Р2:
d12
d 22
P1 Pa h1
,
P2 Px h1 h2
4
Приравнивая правые части, получим:
4
Pa h1 d12 Px h1` h2 d 22
откуда:
d1
d 22 d12
Px Pa h2 h1
2
d
d
2
2
2
Подставляя Рx в исходную формулу, имеем:
d 2
PB Pa 1 1
d 2
35688 Па
0,1 2
d 22 d12
0,1252 0,12
9810 2
h2 h1
98000 1
2
2
d
0
,
125
0
,
125
2

15. Задача 11. Определить направление (вверх или вниз) и величину силы S, которую необходимо приложить к штоку для удержания его на

месте. Под
поршнем вода, над поршнем воздух. Избыточное давление воздуха РМ 0,12
МПа. Собственным весом поршня со штоком, а также трением пренебречь.
Исходные данные: D=0,1м; d=0,05м; а =0,1м; =0,05м; l=2м.
Решение: Составляем уравнение равновесия поршня: S P2 P1 0
откуда: S P2 P1
Сила избыточного давления сверху: P2 Pм D 2 d 2
4
Сила давления снизу:
P1 Pb
D2
4
Полное давление над поршнем находим из условия
равенства давлений относительно 0-0:
Pa a P h l ,
откуда:
P Pa h l a
Величину вакуума под поршнем определяем по формуле (1.16):
Pв Pa P h l a
Подставляя Рв, Р1 и Р2 в исходную формулу, получим:
S
PM D 2 d 2 h l a D 2
4
3,14
120000 0,12 0,05 2 9810 0,1 2 0,05 0,12 431 H
4

16. Задача 12. Определить показание манометра h, при котором система из двух поршней, имеющих общий шток, будет находиться в

равновесии, если D=0,2м большого
поршня, d=0,1м малого поршня. Избыточное давление,
показываемое пружинным манометром рМ=0,02МПа.
Решение: Из условия равенства сил, действующих на
поршни, определяем показание манометра.
Сила давлений на большой поршень .
D2
P1 PM
Сила давления на малый поршень: .
P2 сын h
Приравнивая правые части, получим:
2
откуда
4
d2
4
PM D сын h d 2 ,
2
2
P D
20000 0,02
h M
0,6 м
рт d 132886 0,1
Значение объемного веса ртути рт 132886 Н / м3 находим
по табл. 1.3.

17. Задача 13. Определить предварительное поджатие пружины x, необходимое для того, чтобы клапан открывался при давлении Р=3МПа.

Диаметр поршней:
D1=0,22м, D2=0,02м, а жесткость пружины С=8 Н/мм.
Решение: Система поршней находится в равновесии
под действием сил: Р1 Р2 С х 0
Сила давления на правый поршень: ,Р1 D12 d 2 P
4
где d – диаметр штока. Сила давления на левый поршень:
P2
4
D22 d 2 P
Подставляя Р1 и Р2 в исходную формулу, получим:
x
D12 D22 P
3,14 0,0222 0,022 3 106
0,025 м
4 8 103
4C
.
Задача 14. Определить диаметр D1 гидравлического
цилиндра для подъема задвижки при избыточном
давлении жидкости Рн=1МПа, если диаметр трубопровода
D2 = 1м и вес подвижных частей устройства G=2000H.
При расчете коэффициент трения задвижки в
направляющих поверхностях принять равным f=0.3. Силу
трения в цилиндре считать равной 5% от веса подвижных
частей. Давление за задвижкой равно атмосферному.

18. Решение: Составим уравнение равновесия устройства . Силу трения в направляющих поверхностях задвижки определяем по формуле: .

Решение: Составим уравнение равновесия устройства .
Ри
D12
4
G T1 T2 0
Силу трения в направляющих поверхностях задвижки определяем по
формуле:
D22
T2 f N f Pu
.
4
Подставляя Т1 и Т2 в исходную формулу и принимая во внимание,
что Т1=0,05G , получим:
D12
D22
Pи
откуда:
D1
4
1,05 G f Pи
4
0,
4,2 G
4,2 2000
2
f D22
0
,
3
1
0,55 м.
6
Pи
3,14 10