Хаос в двумерных отображениях

1.

Хаос в двумерных отображениях
Двумерные отображения появляются, как правило, при рассмотрении сечения
Пуанкаре неавтономного осциллятора (т.е. находящегося под действием
внешнего периодического воздействия) с тем или иным типом нелинейности.
В отличие от одномерных отображений с хаотической динамикой двумерные
отображения могут обладать свойством обратимости, которое служит основой
для переноса знаний об их динамике на более широкий класс систем с
непрерывным временем. Свойство обратимости означает, что отображение
всегда имеет однозначно определенное обратное отображение, или, иными
словами, может быть проитерировано в обратном времени произвольное
количество раз.
Например, для одномерного логистического отображения данное свойство не
выполняется. Любому xn+1 из области значений соответствует два варианта xn .

2.

Отображение Эно (Henon map)
xn 1 1 xn2 yn ,
yn 1 bxn .
x, y – динамические переменные, и b – параметры отображения. Данное
отображение интенсивно изучалось как одно из простейших расширений
логистического отображения до большей размерности. Действительно, при b = 0
данное отображение вырождается в одну из форм записи логистического
отображения
xn 1 1 xn2 .
Неподвижные точки отображения Эно:
P1 : x* ( ( 1 b ) ( 1 b )2 4 ) / 2 , y* bx* ,
P2 : x* ( ( 1 b ) ( 1 b )2 4 ) / 2 , y* bx* .
Выражения, определяющие координату x*, являются действительными числами
при > - (1- b)2 /4. Соответственно при этих значениях существуют 2
различные неподвижные точки отображения, P1 и P2.

3.

Уравнение в вариациях для малых отклонений и от состояния равновесия в
матричной форме имеет вид
n 1 2 x*
n 1 b
1 n
.
0 n
(64)
Собственные числа 1 и 2 находятся из решения характеристического
уравнения
*
2 x
b
что дает
1
0,
(65)
1,2 x* x*2 b
для каждой из 2-х неподвижных точек.
Проанализируем характер устойчивости неподвижных точек в зависимости от
значения параметра . Зафиксируем b = 0.3. При 0 неподвижные точки
«разъезжаются» в бесконечность, при этом значения собственных чисел
стремятся к b для P1 и 1 b b для P2.
2

4.

Зависимость собственных значений неподвижных точек отображения Эно от
параметра
21
b = 0.3
11
12
22
Точка P2 является седлом при любых . Одно из ее собственных значений
положительно и больше 1, а другое – отрицательно и близко к 0. Это означает, что
по первому направлению траектория монотонно расходится, а по другому
направлению отклонение убывает, меняя знак на каждой итерации.
Точка P1 устойчива до = 0.3675, когда одно из собственных чисел достигает
значения -1, что соответствует бифуркации удвоения и рождению цикла периода
2. По другому направлению точка всегда устойчива, т.к. собственное значение
меньше 1.

5.

В отображении Эно реализуется каскад бифуркаций удвоения периода и
переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума. Формирование единого
(односвязанного)
хаотического
аттрактора
происходит
через
последовательность бифуркаций связанности.

6.

Рассмотрим, как на фазовой плоскости происходит формирование аттрактора
Эно. В данном случае аттрактор - геометрический объект, получаемый путем
ряда геометрических трансформаций, задаваемых отображением Эно. Данное
геометрическое преобразование можно проанализировать, разбив его на три
этапа.
Обозначим исходное отображение плоскости на плоскость как T : R2 → R2 и
представим T в виде трех последовательных трансформаций:
T T1 T2 T3 .
Первая трансформация отображает точку (x, y) в ее образ (x, 1- μx2 + y) и
представляет собой искривление, сохраняющее площадь. Вторая трансформация
отображает (x, y) в (bx, y) и соответствует сжатию по x-направлению. Наконец,
третья трансформация переводит (x, y) в (y, x) и отображает участок поверхности
в себя с поворотом на 90 градусов.
Мы имеем некоторое множество
начальных условий, лежащих на
окружности единичного радиуса (а).
Сначала
исходная
окружность
искривляется в некоторую фигуру (b),
затем сжимается по горизонтали (c), и,
наконец, поворачивается на 90 градусов
(d).

7.

Изменение площади, или фазового объема, определяется якобианом
( xn 1 , yn 1 ) 2 xn
J
( xn , yn )
b
1
.
0
Когда модуль определителя | J | = 1, отображение сохраняет площадь, что
соответствует консервативной системе. В случае | J | < 1 отображение является в
среднем сжимающим, т.е. диссипативным. Только в этом случае можно
говорить о наличии у него регулярных или хаотических аттракторов. Предел
b = 0 соответствует предельно сильному сжатию по x-направлению. В этом
случае, как уже отмечалось, отображение Эно сводится к одномерному
логистическому отображению.
При последовательной итерации отображения Эно повторяющиеся изгибы,
сжатия и повороты приводят к формированию на плоскости подковообразного,
очень сложно устроенного множества – хаотического аттрактора.

8.

Хаотический аттрактор Эно
Общая форма аттрактора повторяет
результат
преобразования,
рассмотренный
выше.
Однако
бесконечное
число
сжатий
и
отображений в себя участка плоскости
порождает особый тип геометрической
структуры, называемой фрактальной.
Ее
свойства
поясняют
рисунки.
Выделенный фрагмент на рис. (а)
представляет собой набор точек,
лежащих на практически параллельных
отрезках
прямых
линий.
Можно
различить структуру из 3, 2, и 1 линий.
Однако, если увеличить в 10 раз выделенный прямоугольником участок, то его структура оказывается геометрически
подобна объекту в целом! Увеличение позволяет увидеть мелкие детали и,
оказывается, что рассматриваемые участок фазового портрета повторяет сам себя
при подходящем масштабировании!
Хаотический аттрактор Эно обладает свойством масштабной инвариантности, что
является геометрическим проявлением свойства самоподобия.

9.

Рассмотрим фазовые портреты притягивающих
множеств отображения Эно и бассейны их
притяжения.
При определенных значениях управляющих
параметров
отображение
Эно
может
демонстрировать свойство мультистабильности
– режим сосуществования двух притягивающих
подмножеств на фазовой плоскости. Если
менять начальные условия, то наблюдается
чередование двух хаотических режимов. Это
подтверждает расчет старшего ляпуновского
показателя в зависимости от изменения
начальной координаты x при фиксированном y.
Максимальный показатель случайным образом
«скачет» между двумя положительными
значениями, свидетельствуя о переходах
системы с одного хаотического аттрактора на
другой.
Если сравнить эти результаты с видом
структуры
бассейнов
притяжения,
то
становится понятно, что изменение начальных
условий приводит к пересечению границ
соответствующих бассейнов.

10.

Подобно логистическому отображению, в закритической области значений
управляющего параметра (в области существования хаотического аттрактора)
в отображении Эно также наблюдается чередующуюся картина смены
регулярных и хаотических режимов – «окна периодичности».
Это иллюстрирует зависимость старшего ляпуновского показателя от
параметра μ. На графике видно наличие как положительных, так и
отрицательных значений ляпуновского показателя, что свидетельствует о
нерегулярном чередовании хаотических и периодических аттракторов в
системе при вариации параметра.
μ

11.

Arnold “cat map”:
xn 1 xn yn ,
yn 1 xn 2 yn , mod 1
Данное отображение является простой
дискретной
системой,
которая
растягивает
и
«складывает»
траектории в фазовом пространстве.
Это является одним из типичных
свойств и особенностей хаотических
процессов.
Фазовое
пространство
данного
отображения может быть представлено
квадратом, и процесс растяжения и
складывания
становится
более
понятным и явным, если поместить
картинку кота в квадрат.
Затем можно видеть эволюцию системы во времени, наблюдая за тем, как кот
растягивается, разрезается и затем помещается обратно в квадрат. Из картинки
видно, что обычно любые 2 точки, расположенные вначале вблизи друг друга,
быстро становятся разделенными друг от друга после повторяющихся применений
отображения.

12.

Таким образом, отображение «кота»
Арнольда
представляет
собой
преобразование, которое растягивает
изображение, состоящее из n × n
пикселов, и эффективно сворачивает
растянутые части для восстановления
первоначальных размеров.
Например, после некоторого числа
итераций
восстанавливается
первоначальное
изображение,
подвергнутое преобразованию. Говорят,
что преобразование Arnold cat map
является периодическим с данным
числом итераций.

13.

Кубическое отображение
Данное отображение было предложено Холмсом (1979) как некий аналог
дифференциальной системы с тремя состояниями равновесия.
xn 1 (a 1) xn axn3 yn ,
yn 1 bxn , a 0, b 1.
Отображение имеет состояние равновесия в нуле координат и еще два состояния
равновесия, симметрично расположенные на диагонали фазовой плоскости. По
мере увеличения параметра a в окрестности каждой из них имеет место каскад
бифуркаций удвоения, завершающийся рождением хаотического аттрактора.

14.

Связанные логистические отображения
xn 1 1 xn2 ( yn xn ),
yn 1 1 yn2 ( xn yn ).
α – управляющий параметр системы,
γ – параметр связи. При γ = 0 получаем два
независимых логистических отображения.
При
определенных
значениях
параметров в системе сосуществуют 3
аттрактора: 1 регулярный и 2
хаотических. Проявляется свойство
мультистабильности.
Структура
бассейнов притяжения фрактальна и
изрешеченна. Это ведет к тому, что
малая ошибка в задании начальных
данных
может
резко
изменить
наблюдаемый предельный режим.
Зададим
малую
область
неопределенности
по
начальным
данным в виде квадратика со стороной
ε и проитерируем всю эту область в
соответствии с отображением.

15.

В
зависимости
от
положения
области
неопределенности и от
размера ε мы каждый раз
будем получать различный
результат.
Например,
помещая
кубик
неопределенности
в
задании начальных условий
фиксированного размера ε в
точки 1, 2 и 3, можно
получить
соответственно
хаотический, регулярный
аттрактор или совокупность
3 аттракторов системы в
качестве результирующего
режима.