Теорема косинусов

1.

Среди равных умов при
одинаковости прочих условий
превосходит тот, кто знает
геометрию.
Блез Паскаль

2.

АВ2 = АС2 + ВС2
А
sin
COS
С
В
tg
BC
sin
AB
ПРОТИВ. КАТЕТ
ГИПОТЕНУЗА
ПРИЛ. КАТЕТ
ГИПОТЕНУЗА
AC
cos
AB
BC
tg
AC
против. катет
прилеж. катет
В
?
К
М

3.

В
К
?
М

4.

СЛОЖЕНИЕ
а в
2
1
а
3
3
а в
а в
правило
параллелограмма
ВЫЧИТАНИЕ
а в
2
3
а в
4
1
3
2
правило
треугольника
в
4
1
а в
1
3
2

5.

а в число
а в а в cos
а
в
а длина отрезка, изображающего вектор
2
а а а а
2

6.

Формулировка:
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного
произведения этих сторон на косинус угла между ними.
В
АВ2 = ВС2 + СА2 – 2 *ВС*АС cosС
ВС2 = АВ2 + АС2 – 2 *АВ*АС *cosА
АС2=АВ2 + ВС2 - 2АВ*ВС cosВ
А
С

7.

Дано: АВС А
С
Доказать:
ВС 2 АС 2 АВ 2 2 АС АВ cos
Доказательство.
Выразите вектор ВС через сумму или
разность векторов АС и АВ
ВС АС АВ
В
А
2
ВС ( АС АВ ) 2
Возведите это равенство скалярно в квадрат
2
2
2
ВС АС АВ 2 АС АВ
2
Воспользуйтесь векторными равенствами ВС ВС
АС АВ АС АВ cos
2
АС АС
ВС 2 АС 2 АВ2 2 АС АВ cos
АС АС АВ АВ
Окончательно имеем:
ВС 2 АС 2 АВ 2 2 АС АВ cos
АВ
2
АВ

8.

Верно ли записано?
С
а2 = b2 + с2 - 2aс cosC
неверно
в2 = с2 + a2 - 2сa cosB
верно
с2 = a2 + c2 - 2ab cosA
неверно
а
b
В
А
с
МОЛОДЦЫ!!!

9.

900 1800
300, 450, 600
соs
sin
Табличное
значение
cos cos(1800 ) cos
1800
Табличное
значение
Косинус тупого угла – число отрицательное
sin cos 1
2
2

10.

F
Q
5
4
К
6
M
1500
600
6
N
A
В
D
1350
3
750
2
2 2
К
600
4
М
Учебник, стр 166,пункт 109, №1
H
P

11.

Применение теоремы косинусов
Нахождение стороны треугольника
(знаем две стороны, угол между ними)
Угол треугольника (косинус угла)
(знаем все стороны треугольника)
Вид треугольника по углам
(знаем все стороны треугольника)
Медианы треугольника
(знаем все стороны треугольника)

12.

Домашнее задание
П. 109(доказательство),
Карточка, стр 166 к п.109 №1(до конца)
Заполнить таблицу стр 92
Стр 84, 89 определения cos , sin , tg

13.

Верно ли записаны формулировки?
1. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов всех
сторон минус удвоенное произведение любых двух сторон
на косинус угла между ними.
2. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон на синус угла между ними.
3. Квадрат стороны трапеции равен сумме квадратов двух
других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на
косинус угла между ними.
4. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на
косинус угла между ними.
НЕВЕРНО
НЕВЕРНО
НЕВЕРНО
ВЕРНО