Алгоритм решения базовых задач

1.

Ответы для самопроверки
Математический диктант
математического диктанта
Дано : а (а , а , а ), b (в , в , в )
1
1.
2.
3.
4.
5.
2
3
1
2
3
Записать в координатах :
а1 а 2 а3
Условие коллинеарности
1.
двух векторов.
в1 в2 в3
Условие
2. а1 в1 а2 в2 а3 в3 0
перпендикулярности двух
векторов.
a1b1 a 2 b2 a3b3
3
.
cos
(
a
,
b
)
Формулу для нахождения
2
2
2
2
2
2
a1 a 2 a3 b1 b2 b3
косинуса угла между
векторами.
2
2
2
Формулу для нахождения
4. a a1 a2 a3
длины вектора.
Уравнение плоскости.
5. A x B y C z D 0

2. Математический диктант

Алгоритм решения базовых задач
1. Ввести прямоугольную систему координат
- на плоскости основания многогранника;
- в пространстве.
2. Найти координаты точек, о которых идет речь в
условии задачи.
3. Найти координаты
- направляющих векторов прямых;
- векторов, перпендикулярных плоскостям
(нормалей).
4. Воспользоваться соответствующей формулой для
нахождения
- расстояний в пространстве;
- углов в пространстве.

3. Алгоритм решения базовых задач

Введите прямоугольную систему координат, если в
основании многогранника лежит...
y
y A
D
D
A
y
B
y
C
C
B
x
x
x
y
x
x

4. Введите прямоугольную систему координат, если в основании многогранника лежит...

Введите прямоугольную систему координат , если в
основании многогранника лежит...
O
С
y
А
А
F y
O
E y
B
В
x
x
C
D
x
x

5. Введите прямоугольную систему координат , если в основании многогранника лежит...

y
B
C
O
A
D
x
x
y

6. Введите прямоугольную систему координат , если в основании многогранника лежит...

Введите прямоугольную систему координат.
Z
z
z
A1
B1
C1
A1
C1
D1
F1
B1
E1
A
O
A
x
x
B
y yX
C
Y
C
B
D
F
E

7. Введите прямоугольную систему координат.

Назовите наклонную к плоскости α , ее проекцию на
плоскость, проекции точек В и М.
АВ – наклонная к плоскости α
ВС – перпендикуляр к плоскости α
АС – проекция наклонной АВ на плоскость α
В
М
А
С – проекция точки В
С
α
М1
М1 – проекция точки М

8.

На какие отрезки в плоскости основания
попадают проекции точек Р, М, S, K, N?
P
Z
C1
B1
K
A1
N
S
F1
P
M
S
B
C
O
А
D1
E1
Y
C
B
A
D
F
E
X
D
Проекциями каких точек являются точки
B,E, D в плоскости основания призмы?

9. На какие отрезки в плоскости основания попадают проекции точек Р, М, S, K, N?

Координаты вершин многогранников
Найдите координаты вершин единичного куба.
А 0;0;0 , А1 0;0;1
В 1;0;0 , В1 1;0;1
D 0;1;0 , D1 0;1;1
С 1;1;0 , С1 1;1;1
Найдите координаты вершин правильной треугольной
призмы, все ребра которой равны 1.
А 0;0;0 , А1 0;0;1
В 1;0;0 , В1 1;0;1
1 3
1 3
С ;
;0 , С1 ;
;1
2 2
2 2

10.

Найдите координаты вершин правильной
шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1.
3 3
3 3
А 0;0;0 , А1 0;0;1 В 1;0;0 , В1 1;0;1 , С ;
;0 , С1 ;
;1
2 2
2 2
1 3
1 3
D 1; 3;0 , D1 1; 3;1 , Е 0; 3;0 , Е1 0; 3;1 , F ;
;0 , F1 ;
;1
2 2
2 2

11.

Найдите координаты вершин правильной треугольной
пирамиды (тетраэдра), все ребра которой равны 1
А 0;0;0 , В 1;0;0 ,
1 3
;0
С ;
2 2
1 3
2
;
D ;
6
2 6
Найдите координаты вершин правильной четырехугольной
пирамиды , все ребра которой равны 1
А 0;0;0 , В 1;0;0 ,
С 1;1;0 , D 0;1;0
1 1 2
S ; ;
2 2 2

12.

Найдите координаты вершин правильной
шестиугольной пирамиды, стороны
основания которой равны 1, а боковые
ребра равны 2
3 3
А 0;0;0 , В 1;0;0 , С ;
;0 , D 1; 3;0 ,
2 2
1 3
Е 0; 3;0 , F ;
;0
2 2

13.

Составить уравнение плоскости по 3 точкам
Ax By Cz D 0 общий вид уравнения плоскости
1.
1
1
3
А(0, ,0), D( 0, ,1), B1 (
, 0,2).
2
2
2
1
A 0 B 2 C 0 D 0,
1
( АDB1 ) : A 0 B C 1 D 0,
2
3
A
B 0 C 2 D 0,
2
B 2 D,
C 2 D,
A 2 3D.
2 3 xD 2 yD 2 zD 0,
2 3 x 2 y 2 z 1 0.
Ответ. 2 3 x 2 y 2 z 1 0.

14. Составить уравнение плоскости по 3 точкам

Составьте уравнения координатных плоскостей
2.
x 0.
Уравнение плоскости yOz :
y 0.
z 0.
Уравнение плоскости xOz :
Уравнение плоскости xOy :
3. Вектор нормали к плоскости Ax By Cz D 0
имеет координаты А; В; С и обозначается n А; В; С .
Найдите координаты нормалей
к координатным плоскостям и плоскости ADB1 .
n1 1; 0; 0 , n2 0; 1; 0 , n3 0; 0; 1 ,
n 2 3; 2; 2

15. Составьте уравнения координатных плоскостей

Решить задачу. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3,
на диагоналях граней АD1 и D1В1 взяты точки Е и К так, что
D1Е:АD
1=1:3, D1K:D1B1=2:3. Найти длину отрезка ЕК.
z
B1
К
C1
A1
D1 E
Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат
с началом в точке А как показано на рис.
A
B
y
A(0, 0, 0), Е1 (2, 0, 0), E (2, 0, 2), К1 (1, 2, 0), K (1, 2, 3)
C
B
A
Е и К
с помощью их проекций на плоскость основания.
D
x
2. Найдем координаты точек
y
3. ЕК ( х2 х1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 ,
К1
ЕК (1 2) 2 (2 0) 2 (3 2) 2 6.
Е1
D
x
Ответ. ЕК 6 .
C

16. Решить задачу. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1 взяты точки Е и К так, что

Решите задачу. В правильной шестиугольной
призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
Найдите расстояние от точки В до точек Е1, D1.
Z
1. Введем систему координат с началом в точке В
C1
B1
A1
F1
D1
E1
как показано на рис.
2. Найдем координаты точек
Е1 и D1
с помощью их проекций на плоскость основания.
3
1
, АР .
2
2
Y
3
3
B (0;0;0), E ( 3;1;0), Е1 ( 3;1;1), D (
; 1,5; 0), D1 (
; 1,5; 1).
2
2
Из АВР : Р 90 , В 30 , АВ 1, ВР
C
B
A
D
F
E
X
C
B
y
3. ВЕ 1 ( х2 х1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 ,
ВЕ 1 ( 3 0) 2 (1 0) 2 (1 2) 2 5.
1
A
P
D
ВD1 ( х2 х1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 ,
ВD1 (
F
E
3
0) 2 (1,5 0) 2 (1 0) 2 2.
2
Ответ.
x
5 , 2.

17. Решите задачу. В правильной шестиугольной призме  ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до точек

500013.
В правильной шестиугольной
призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
Найдите
расстояние от точки В до плоскости DEA1.
Z
1. Введем систему координат с началом в точке В
C1
B1
как показано на рис.
A1
F1
D1
E1
2. Из АВР : Р 90 , В 30 , АВ 1, ВР
B (0;0;0), A1 (
Y
C
B
A
D
F
E
X
C
B
y
1
A
P
F
x
D
E
3
1
, АР .
2
2
3 1
3
; ;1), D (
; 1,5; 0), E ( 3;1;0)
2
2
2
Составим уравнение плоскости DEA1 :
1
x y 2 z 2 0,
3
1
n { ;1;2} вектор нормали к плоскости
3
| Ax0 By 0 Cz0 D |
3. ( B, DEA1 )
,
2
2
2
A B C
2
3
( B, DEA1 )
2
1
1 4
3
Ответ.
3
2

18. 500013. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до

А1
Расстояние
между скрещивающимися
прямыми
равно расстоянию от
484577.
В правильной
треугольной
призме
Найдем
расстояние
от точкисодержащей
А до плоскости
ВСС1 и
точки на одной
прямой до плоскости,
вторую прямую
ABCA
1B1C1 всепервой
ребрапрямой.
которой равны 1 найти
параллельной
расстояние между прямыми АА1 и ВС1.
z
Введем систему координат с началом в точке О
Решение.
С1
как показано на рисунке.
Из равностороннего треугольника АВС имеем :
т.к. ВО медиана и высота, то
В1
ВО ВС 2 ОС 2 , ВО
O
А
1
3
1
1
А(0, ,0), В(
, 0,0), С (0, ,0), С1 ( 0, ,1).
2
2
2
2
y
Составим уравнение плоскости ВСС1 :
В
x
С
3
.
2
O
C
A
y
2
x 2 y 1 0.
3
2
n
; 2;
3
0
( А; ВСС1 )
1
x
B
Ax0 By 0 cZ 0 D
A2 B 2 C 2
0 1 1
3
( А; ВСС1 )
.
2
4
0 4
3
Ответ :
3
.
2

19. 484577. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра которой равны 1 найти расстояние между прямыми АА1 и ВС1. Решение.

Решите задачу. Найти расстояние между плоскостями
сечений куба (PRS) и (NKM), ребро которого 12, где
DN:NC=A1P:PB1=1:2, B1S:SB=D1M:MD1=1:3,
B1R:RC1=DK:KA=1:4.
Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В как
показано на рисунке.
2. В(0; 0; 0); P(6; 0; 12); R(0; 3; 12); S(0; 0; 8); N(6; 12; 0); K(12; 9; 0);
M(12; 12; 4)
z
3. Уравнение плоскости (PRS) имеет вид
2x+4y-3z+24=0, а уравнение плоскости
B1 R
C1
(NKM) 2x+4y-3z-60=0,
P
значит плоскости параллельны.
S
A1
4. ( PRS ; NKM )
D1
y
В
С
M
N
А
K
x
( PRS ; NKM )
D
Ответ :
84
.
29
D2 D1
A2 B 2 C 2
24 60
84
.
4 16 9
29

20. Решите задачу. Найти расстояние между плоскостями сечений куба (PRS) и (NKM), ребро которого 12, где DN:NC=A1P:PB1=1:2,

500387. На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1
отмечена точка E так, что CE:EC1=2:1 .
z
Найдите
угол между прямыми BE и AC1 .
B1
A1
Введем прямоугольную систему координат
с началом в точке А как показано на рис.
Пусть сторона куба равна 3.
C1
D1
E
A
B
y
AС1 3, 3, 3 , BE 3, 0, 2 .
D
C
A
x
A(0, 0, 0), B (0, 3, 0), E (3, 3, 2), C1 (3, 3, 3)
cos (a , b)
B
y
a1b1 a 2 b2 a3b3
a1 a 2 a3 b1 b2 b3
2
cos( AС 1 , BE )
D
x
C
2
2
2
2
3 3 3 0 3 2
9 9 9 9 0 4
5
Искомый угол равен arccos
.
39
5
Ответ. arccos
.
39
2
5
.
39

21. 500387. На ребре  СС1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E  так, что CE:EC1=2:1 . Найдите угол между прямыми  BE и AC1 .

500347. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны
основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина
ребра CC1 Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
z
Введем прямоуголь ную систему координат
A1
как показано на рис.
C1
Из равностороннего треугольника АВС имеем :
т.к. ВО медиана и высота, то
B1
D
2
C
O
A
ВО ВС 2 ОС 2 , ВО
3
.
2
1
3
1
1
3
А
(
0
,
,
0
),
В
(
,
0
,
0
),
С
(
0
,
,
0
),
D
(
0
,
,
1
),
B
(
, 0,2).
1
y
2
2
2
2
2
Составим уравнения плоскостей АВС : z 0 и АDB1 :
1
B
O
x
C
A
y
2 3 x 2 y 2 z 1 0.
n2 2 3; 2; 2 ( n2 ( ADB1 ))
n1 0; 0; 1 ( n1 ( ABC ))
cos( n1 , n2 )
1
cos( n1 , n2 )
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
0 2 3 0 2 1 2
1 ( 2 3 ) 2 2 2 ( 2 ) 2
искомый угол равен arccos
x
B
Ответ : arccos
5
.
5
5
.
5
2
5
.
5
20

22.

484568. Длины ребер правильной четырехугольной
пирамиды PABCD с вершиной Р равны между собой.
Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью BDP,
если точка М – середина бокового ребра пирамиды АР.
P
Введем прямоуголь ную систему координат
с началом в точке О точке пересечени я диагоналей
квадрата как показано на рис. Пусть АВ 1.
M
B
М1
Из АРО имеем : О 90 , РО
2
2
АР АО , РО 1
.
2
2
2
2
2
2
2
2
, D 0;
.
B 0;
;0 , M
;0;
;0 , P 0;0;
2
4
2
4
2
С
2 2 2
BM
;
;
направляющ ий вектор прямой ВМ .
4 2 4
Составим уравнение плоскости ВDP : x 0, n 1;0;0 .
O
sin BM , n
А
x
2
Из подобия треугольников АММ 1 и АРО имеем : РО 2 ММ 1 , ММ 1
D
В
АВ 2 ВС 2 , АС 2 , АО
2
C
O
А
2
.
2
Из АВС имеем : В 90 , АС
D
sin BM , n
y
a1 A a 2 B a 3C
a a 22 a 32 A2 B 2 C 2
2
1
2
4
1 1 1
1
8 2 8
6
6
, искомый угол равен arcsin
6
6
2
.
4

23. 484568. Длины ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD с вершиной Р равны между собой. Найдите угол между прямой ВМ и

500001. Основанием прямого параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, со стороной 4 3 , а
угол BAD равен 60°. Найти расстояние от точки А до
прямой С1D1, если боковое ребро параллелепипеда равно
Как введем прямоугольную систему координат?
8.
В
С
Т.к. диагонали ромба перпендикулярны,
то начало координат можно взять в точке
их пересечения.
O
60°
x
А
Координаты каких точек надо найти?
4 3
D
y
B1
А, С1, D1 и основания перпендикуляра опущенного
из точки А на прямую С1D1 – точки К1.
C1
Где лежит проекция точки К1?
На прямой СD.
Пусть К1(х0,у0,z0), ее проекция К(х0,у0,0)
A1
Из ABD : AB AD BD 4 3, DO 2 3.
Из AOD : AO 6
D1
В
С
А
D
A 6, 0, 0 , C1 6, 0, 8 , D1 0, 2 3, 8

24. 500001. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, со стороной , а угол BAD равен 60°. Найти

500001. Основанием прямого параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, со стороной 4 3 , а
угол BAD равен 60°. Найти расстояние от точки А до
прямой С1D1, если боковое ребро параллелепипеда равно
8.
A 6, 0, 0 , C1 6, 0, 8 , D1 0, 2 3, 8 , K1 x0 , y0 ,8
В
С
Найдем координаты точки К1.
1) Т .к. K1 С1 D1 , то С1 D1 || D1 K1 , следовательно
O
их координаты пропорциональны
А
4 3
D
y
B1
C1 D1 6, 2 3, 0 , D1 K1 x0 , y0 2 3, 0
60°
x0
y 2 3
, 0
,
6
2 3
x0 6 , y0 2 3 2 3.
C1
ÀÊ 1 6 6, 2 3 2 3,8 .
A1
2) Т .к. С1 D1 AK1 , то С1 D1 AK1 0
D1
6 6 6 2 3 2 3 2 3 8 0 0,
В
С
А
D
1
.
2
2
2
1
1
AÊ 1 6 6 2 3 2 3 82 10
2
2

25. 500001. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, со стороной , а угол BAD равен 60°. Найти

Домашнее задание:
решить задачи по выбору
1. Ребра правильной четырехугольной призмы равны 1, 4, 4.
Найти расстояние от вершины до центра основания призмы, не
содержащего эту вершину.
2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все
рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до точек Е1, D1.
3. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K – середины
ребер AA1 и CD соответственно, а точка M расположена на
диагонали B1D1 так, что B1M=2MD1. Найти расстояние между
точками Q и L, где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК
такая, что ML=2LK.
№ 484559, 484569, 485992, 485997, 500007, 500193,
500367
на сайте http://reshuege.ru