Задания С2 на ЕГЭ. Координатный метод.
Координаты многогранников.
Единичный куб.
Прямоугольный параллелепипед.
Правильная шестиугольная призма.
Правильная треугольная призма.
Правильная треугольная пирамида.
Правильная четырехугольная пирамида.
Правильная шестиугольная пирамида.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки М(x0;y0;z0)до плоскости ax + by + cz + d = 0.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
№ 1 В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А1 до плоскости (BDC1) .
№ 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (DEF1)
Расстояние между скрещивающимися прямыми.
№ 1. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми АD1 и ВD.
№ 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми АS и ВС.
2.06M
Category: mathematicsmathematics

Задания С2 на ЕГЭ. Координатный метод. Координаты многогранников

1. Задания С2 на ЕГЭ. Координатный метод.

Лещенко С. И. учитель математики
МБОУ СОШ № 8 г. Туапсе
Краснодарского края

2. Координаты многогранников.

3. Единичный куб.

z
у
х
D (0; 0; 0)
A (1; 0; 0)
C (0; 1; 0)
B (1; 1; 0)
D1 (0; 0; 1)
A1 (1; 0; 1)
C1 (0; 1; 1)
B1 (1; 1; 1)

4. Прямоугольный параллелепипед.

z
c
b
a
х
у
D (0; 0; 0)
D1 (0; 0; c)
A (a; 0; 0)
A1 (a; 0; c)
C (0; b; 0)
C1 (0; b; c)
B (a; b; 0)
B1 (a; b; c)

5. Правильная шестиугольная призма.

z
C (a; 0;0)
F (- a; 0;0)
a
D ;
2
хE a ;
2
3a a
;0 D1 ;
2
2
3a a
;0 E1 ;
2
2
a 3a
A ;
;0 A a ;
2 2
1 2
c
a
у
E
a
3
a
2
1
a
2
F
A
у
D
a
C
х
B
C1 (a; 0;c)
F1 (- a; 0;c)
3a
; c
2
3a
; c
2
3a
; c
2
a 3a
a 3a
B ;
;0 B1 ;
; c
2 2
2 2

6. Правильная треугольная призма.

z
С1
3a
B 0;
; 0
2
В1
a
C ;0;0
2
А1
a
2
А
х
a
A ;0;0
2
С
O
c
3a
2
a
В
у
a
A1 ;0; c
2
3a
B1 0;
; c
2
a
C1 ;0; c
2

7. Правильная треугольная пирамида.

a
B ;0;0
2
z
a
A ;0;0
2
h
3a
6
O
y
H
3a
2
a
2
х
3a
C 0;
;0
2
3a
S 0;
; h
6

8. Правильная четырехугольная пирамида.

a a
z
a a
A ; ;0
B ; ;0
2 2
a a
C ; ;0
2 2
h
h
х
a a
D ; ;0
2 2
a a
2
y
2
2
S 0;0; h

9. Правильная шестиугольная пирамида.

a
C (a; 0;0)
A ;
2
z
F (- a; 0;0)
a
3a
D ;
;0
2
2
h
y
a 3a
B ;
;0
2 2
a
3a
E ;
;0
2
2
a
х
3a
;0
2
S 0;0; h

10. Расстояние от точки до плоскости.

11. Расстояние от точки М(x0;y0;z0)до плоскости ax + by + cz + d = 0.

M ;
ax0 by0 cz0 d
a b c
2
Например:
M 3;1;2
M ;
2
2
3x 4 y 12 z 2 0
3 3 4 1 12 2 2
3 4 12
2
2
2
27
13

12. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

M xm ; ym ; zm
N xn ; yn ; zn
P xp ; yp ; z p
Уравнение плоскости имеет вид
ax by cz d 0
Числа a, b, c находим из системы
уравнений
axm bym czm d 0
axn byn czn d 0
ax by cz d 0
p
p
p

13.

Например: Написать уравнение плоскости,
проходящей через точки M 0;1;0 N 1;0;0 P 1;1;1
ax by cz d 0
b d 0
a d 0
a b c d 0
a 0 b 1 c 0 d 0
a 1 b 0 c 0 d 0
a 1 b 1 c 1 d 0
b d
a d
d d c d 0
b d
a d
c d
dx dy dz d 0 : d
- уравнение плоскости, проходящей
x y z 1 0 через три данные точки.

14. № 1 В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А1 до плоскости (BDC1) .

D (0; 0; 0)
z
A1 (1; 0; 1)
B (1; 1; 0)
C1 (0; 1; 1)
Запишем уравнение
плоскости DBC1.
ax by cz d 0
у
х
a 0 b 0 c 0 d 0
a 1 b 1 c 0 d 0
a 0 b 1 c 1 d 0

15.

d 0
a b d 0
b c d 0
d 0
a b
c b
Найдем искомое
расстояние по формуле
bx by bz 0 : b
x y z 0
M ;
A1 (1; 0; 1)
ax0 by0 cz0 d
1 1 1 0 1 1
a b c
2
2
2
2
2 3
A1 ;( BC1 D)
2
2
2
3
3
1 ( 1) 1
2 3
Ответ:
3

16. № 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (DEF1)

C1 (1; 0;1)
1 3
A ;
;0
2 2
z
1
у
1
х
1
3
D ;
;0
2
2
F1 (- 1; 0;1)
Запишем уравнение
плоскости DC1F1.
ax by cz d 0

17.

a 1 b 0 c 1 d 0
a c d 0
3
1
3
1
b d 0
a
c 0 d 0
a b
2
2
2
2
a c d 0
a 1 b 0 c 1 d 0
a 0
2
0
x
dy
dz
d
0
:d
c
d
3
2
b
d
2
3
y z 1 0
3

18.

Найдем искомое
расстояние по формуле
M ;
2
0 x
y z 1 0
3
A; DC1 F1
a 2 b2 c 2
1 3
A ;
;0
2 2
3
1 2
0
1 0 1
3 2
2
2
2
2
0
1
3
2
2 3
Ответ:
7
ax0 by0 cz0 d
2 3
7

19. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

20.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми
называется расстояние между одной из
скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей
через вторую прямую, параллельно первой.
b
b; c b; A;
A
B
b
c

21. № 1. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми АD1 и ВD.

z
AD1 BC1
AD1 ( DBC1 )
AD1; BD
у
х
AD1; BDC1
A; BDC1

22.

D (0; 0; 0) Запишем уравнение
плоскости BDC1.
B (1; 1; 0)
C1 (0; 1; 1)
ax by cz d 0
A (1; 0; 0)
a 0 b 0 c 0 d 0
a 1 b 1 c 0 d 0
a 0 b 1 c 1 d 0
d 0
a b
c b
bx by bz 0
x y z 0
M ;
Найдем искомое
расстояние по формуле
ax0 by0 cz0 d
a b c
2
2
2

23.

A (1; 0; 0)
x y z 0
1 1 1 0 1 0
1
3
A;( BC1 D)
3
3
12 ( 1) 2 12
3
Ответ:
3

24. № 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми АS и ВС.

№ 2. В правильной четырехугольной пирамиде
SABCD все ребра равны 1. Найдите расстояние между
прямыми АS
z и ВС.
BC AD
BC ( ADS )
1
AS ; BC BC; ADS
h
B; ADS
O
1
х
y
AC 2
2
OC
2
2
2
2
h 1
2
2
2

25.

1 1
B ; ;0
2 2
1 1
A ; ;0 S 0;0; 2
2 2
2
1 1
Запишем
D ; ;0
2 2
1
1
a b c 0 d 0
2
2
1
1
a b c 0 d 0
2
2
2
a 0 b 0 c
d 0
2
уравнение
плоскости ADS.
1
1
2 a 2 b d 0
1
1
a b d 0
2
2
2
c d 0
2

26.

a 0
b 2d
c 2 d
0 x 2dy 2dz d 0 : d
0 x 2 y 2z 1 0
Найдем искомое
расстояние по формуле
1 1
B ; ;0
2 2
B;( ASD)
M ;
a 2 b2 c 2
1
1
0 2 2 0 1
2
2
0 2 2
2
Ответ: 6
3
ax0 by0 cz0 d
2
2
2
6
3
6

27.

Литература :
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и
методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые
задания С2) 18.02.2011
www.alexlarin.narod.ru
English     Русский Rules