Правильные паркеты

1. Правильные паркеты Красота спасет мир?

Основополагающий вопрос:
Гипотеза:
Правильных паркетов конечное число?
2) Как их построить?

2. Учебные вопросы :

1) Определение правильных многоугольников
2) Построение правильных многоугольников
3) Вычисление углов правильных
многоугольников
Определение групп:
1)
Историки
2) Теоретики
3) Строители

3. Задания для групп:

1) Изучить историю данного вопроса
используя научную литературу и интернет
ресурсы;
2) Найти определение правильных паркетов,
ответить на вопрос – « сколько их
существует и почему?»
3) Построить все правильные паркеты
используя цветной картон и чертежные
инструменты

4. История

паркета насчитывает несколько
тысячелетий. Более тридцати веков назад люди
начали использовать древесину для оформления пола
в жилище.
Слово «паркет» появилось во Франции, откуда в
Европу пришла мода на фанерованный паркет. Там же
впервые начали изготавливать щитовой и мозаичный
пол из древесины. В России активно использовать
паркет начали лишь в 18 веке, во время
строительства Эрмитажа.

5. Сколько сходится многоугольников в одной звезде?

Звездой вершиной называется фигура,
образованная всеми многоугольниками,
содержащими её.
360⁰

6. Сколько всего правильных паркетов? Как они устроены?

Подобно тому как при бесчисленном множестве
многогранников вообще существует лишь конечное число
правильных многогранников, так и при бесчисленном
множестве паркетов существует лишь конечное число
правильных паркетов.
Решение нашей задачи естественно начать с
исследования вершин паркета. Из определения
правильности сразу вытекает принцип эквивалентности
вершин: любые две вершины устроены одинаково в том
смысле, что звезды всех вершин одинаковы.

7.

Число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно
быть больше
2 (360°/180°).
Многоугольника с углами по 180 градусов не существует
Величина угла правильного многоугольника должна находиться в
интервале от 60° до 180° (не включая); следовательно, число
многоугольников, находящихся в окрестности точки, не может
превышать 6 (360°/60°)
180⁰
180⁰

8.

9.

10.

11.

12.

Можно показать, что существуют следующие способы
уложить паркет комбинациями правильных
многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - два
варианта паркета; (3,4,4,6) - четыре варианта; (3,3,3,4,4) четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках обозначения многоугольников, сходящихся в каждой
вершине: 3 - правильный треугольник, 4 - квадрат, 6 правильный шестиугольник, 12 - правильный
двенадцатиугольник). Некоторые варианты паркета
показаны на следующих иллюстрациях:

13. Геометрические паркеты

Паркет (или мозаика) - бесконечное семейство
многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и
двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие
плоскости правильными многоугольниками, при котором
два многоугольника имеют либо общую сторону, либо
общую вершину, либо совсем не имеют общих точек; но мы
будем рассматривать как правильные, так и неправильные
многоугольники.
Итак, какими же многоугольниками можно замостить
плоскость?