Векторы. Откладывание вектора от данной точки

1. Векторы

2. Откладывание вектора от данной точки

Если точка А – начало вектора а , то говорят,
что вектор а отложен от точки А.
А
а
Утверждение: От любой точки М можно
отложить вектор, равный данному вектору а,
и притом только один.
М
а
Равные векторы, отложенные от разных точек, часто
обозначают одной и той же буквой

3. Сумма двух векторов

Рассмотрим пример:
Петя из дома(D) зашел к Васе(B), а потом поехал
в кинотеатр(К).
B
D
K
В результате этих двух перемещений, которые
можно представить векторами DB и BK, Петя
переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК:
DK=DB+BK.
Вектор DK называется суммой векторов DB и BK.

4. Сумма двух векторов

Правило треугольника
Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную
точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от
точки В отложим вектор ВС = b.
АС = а + b
b
B
a
a
A
b
C

5. Законы сложения векторов

1) а+b=b+a (переместительный закон)
Правило параллелограмма
Пусть а и b – два вектора. Отметим
произвольную точку А и отложим от этой точки
АВ = а, затем вектор АD = b. На этих векторах
построим параллелограмм АВСD.
АС = АВ + BС = а+b
a
D
C
АС = АD + DС = b+a
b
a
2) (а+b)+c=a+(b+c)
(сочетательный закон)
b
A
b
a
B

6. Сумма нескольких векторов

Правило многоугольника
s=a+b+c+d+e+f
m
d
c
n
r
b
e
a
f
s
k
O
p
k+n+m+r+p=0

7. Противоположные векторы

Пусть а – произвольный ненулевой вектор.
Определение. Вектор b называется противоположным
вектору а, если а и b имеют равные длины и
противоположно направлены.
a = АВ, b = BA
a
b
B
c
-c
А
Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c.
Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

8. Вычитание векторов

Определение. Разностью двух векторов а и b
называется такой вектор, сумма которого с вектором b
равна вектору а.
Теорема. Для любых векторов а и b справедливо
равенство а - b = а + (-b).
Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b.
b
а
-b
-b
а
a-b

9. Умножение вектора на число

Определение. Произведением ненулевого
вектора а на число k называется такой вектор b, длина
которого равна вектору k а , причем векторы а и b
сонаправлены при k≥0 и
противоположно направлены при k<0.
а
-2a
3а
Произведением нулевого вектора на любое число считается
нулевой вектор.
Для любого числа k и любого вектора а векторы а и
ka коллинеарны.

10. Умножение вектора на число

Для любых чисел k, n и любых векторов а, b
справедливы равенства:
1)
2)
3)
(kn) а = k (na) (сочетательный закон)
(k+n) а = kа + na (первый распределительный закон)
K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон)
Свойства действий над векторами позволяют в выражениях,
содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов
на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в
числовых выражениях. Например,
p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) =
= 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c