Графики функций

1. Приложение 1

2. Функция f(x) = | х |

у =| х |
Приложение 2
у
0
х

3. Приложение 3 Функция f(x) = 2х + | х |

у = 2х+| х |
у
0
х

4. Приложение 4 Алгоритм исследования функции f на экстремум с помощью производной :

Найти D(f) и исследовать на непрерывность
функцию f.
Найти производную f ´ и представить ее в
удобной форме.
Найти критические точки функции f и на
координатной прямой отметить промежутки
знакопостоянства f ´.
Посмотрев на рисунок знаков f ´, определить
точки минимума и максимума функции и
вычислить значения f в этих точках.

5. Рис.1 (знаки f ´ )

Приложение 5
f ´(x) = 4x3 -4х
+
-1
+
0
1
Рис.1 (знаки f ´ )
x

6. алгоритм отыскания промежутков монотонности функции f

Приложение 6
алгоритм отыскания промежутков
монотонности функции f
Найти D(f).
Найти производную f ´ и представить ее в
удобной форме.
Найти критические точки функции f .
Удалить из D(f) критические точки f и
оставшуюся часть D(f) изобразить на
координатной прямой . Взять по одной точке в
каждом из полученных промежутков и
установить знак производной в них (таков
будет и знак f ´ на всем промежутке в силу
замечания 2).
Исследовать непрерывность f на концах
промежутков из пункта 4 (если это нужно) и
записать ответ, используя замечание1.

7. Рис.2 (знаки f ´ )

Приложение 7
f ´(x) = 3x2-12
+
+
-2
2
Рис.2 (знаки f ´ )
х

8. Общая схема исследования функции f:

Приложение 8
Общая схема исследования функции f:
Найти область определения и значений данной
функции f.
Выяснить, обладает ли функция особенностями,
облегчающими исследование, то есть является ли
функция f:
а) четной или нечетной;
б) периодической.
Вычислить координаты точек пересечения графика с
осями координат.
Найти промежутки знакопостоянства функции f.
Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает,
а на каких убывает.
Найти точки экстремума (максимум или минимум) и
вычислить значения f в этих точках.
Исследовать поведение функции f в окрестности
характерных точек не входящих в область
определения.
Построить график функции.

9. Рис.3 (знаки f ´ )

Приложение 9
f ´(x) = 15x4 -15х2
-
+
-1
0
+
1
Рис.3 (знаки f ´ )
x

10. f(x)= 3x5-5х3+2

Приложение 10
f(x)= 3x5-5х3+2
x
(-∞; -1)
f´(x) +
f(x)
↑
-1
(-1; 0) 0
(0; 1)
1
(1; ∞)
0
-
-
0
+
4
↓
↓
2
↑
max
0
min

11. График функции f(x)= 3x5-5х3+2

Приложение 11
График функции f(x)= 3x5-5х3+2
y
4
y=3x5-5х3+2
2
-1
0
1
x

12. f(x)= x4-2х2-3

Приложение 12
f(x)= x4-2х2-3
x
(-∞; -1)
f´(x) -
f(x)
↓
-1
(-1; 0) 0
(0; 1)
1
(1; ∞)
0
+
0
-
0
+
-4
↑
-3
↓
-4
↑
min
max
min

13. График функции f(x)= x4-2х2-3

Приложение 13
График функции f(x)= x4-2х2-3
y
-2
-1
0
-3
-4
1
2
x

14. f(x)= 2x3-3х2-12x-11

Приложение 14
f(x)= 2x3-3х2-12x-11
x
f´(x)
f(x)
(-∞; -1)
-1
(-1; 2)
2
(2; ∞)
+
0
-
0
+
-4
↓
-31
↑
↑
max
min

15. Рис.4 (знаки p´ )

Приложение 15
p´(x) = х3-3х2-х+3
-
+
-1
1
+
3
Рис.4 (знаки p´ )
x

16. График функции р(x)=x4/4-x3-x2/2+3х

y
-2
-1
Приложение 16
y=x4/4-x3-x2/2+3х
0
1
3
x

17. f(x)= x3-3х2

Приложение 17
f(x)= x3-3х2
x
f´(x)
f(x)
(-∞; 0)
0
(0; 2)
2
(2; ∞)
+
0
-
0
+
0
↓
-4
↑
↑
max
min

18. Рис.5 (знаки f ´ )

Приложение 18
f ´(x) = 3x2-6х
+
+
0
2
Рис.5 (знаки f ´ )
х

19. График функции f(x)= x3-3х2

Приложение 19
График функции f(x)= x3-3х2
у
-1
0
у= x3-3х2
2
3
Х
-4

20. Рис.6 (знаки p´ )

Приложение 20
p´(x) = 4x -12x
3
2
-
+
0
3
Рис.6 (знаки p´ )
х

21. График функции р (x) = x4 – 4x3 – 9

Приложение 21
График функции р (x) = x4 – 4x3 – 9
y
X1
0
P min
3
X2
X

22. y= 1/3x3-3х2+8x

Приложение 22
y= 1/3x -3х +8x
3
x
f´(x)
f(x)
2
(-∞; 2)
2
(2; 4)
4
(4; ∞)
+
0
-
0
+
20/3
↓
16/3
↑
↑
max
min

23. График функции y = 1/3x3-3x2+8x

Приложение 23
График функции y = 1/3x3-3x2+8x
y
y = 1/3x3- 3x2 + 8x
20/3
16/3
0
2
4
x

24. Рис.7 (знаки p´ )

Приложение 24
p´(x) = -x2+2x
-
-
+
0
2
Рис.7 (знаки p´ )
х

25. График функции p(x) = -x3/3+x2-1

Приложение 25
График функции p(x) = -x3/3+x2-1
y
y= -x3/3+x2-1
0
2
-1
x