Невозможно отобразить презентацию
mathematicsSimilar presentations:
Расстояние от точки до плоскости
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ 2 Иногда основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, не попадает на участок плоскости, изображенный на рисунке.
В этом случае можно воспользоваться тем, что расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости, до этой плоскости.
При этом перпендикуляр, опущенный из любой точки этой прямой на данную плоскость, будет равен расстоянию от исходной точки до плоскости.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ 3 Расстояние от точки до плоскости равно также расстоянию между параллельными плоскостями, одна из которых – данная плоскость, а другая проходит через данную точку.
При этом перпендикуляр, опущенный из любой точки этой плоскости на данную плоскость, будет равен расстоянию от исходной точки до плоскости.
В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиBCC1.
Ответ: 1.
Куб 1 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиCDD1.
Ответ: 1.
Куб 2 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиA1B1C1.
Ответ: 1.
Куб 3 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиBB1D1.
Ответ:2.2 Куб 4 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиBCD1.
Ответ:2.2 Куб 5 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиCDA1.
Ответ:2.2 Куб 6 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиBDA1.
Ответ:3.3 Решение: ДиагональAC1 куба перпендикулярна плоскостиBDA1.
ОбозначимO - центр грани ABCD,E - точка пересеченияAC1 и плоскостиBDA1 .
Длина отрезкаAE будет искомым расстоянием.В прямоугольном треугольникеAOA1 имеемAA1 = 1;
AO =;OA1 =.
Следовательно, AE =2623.3 Куб 7 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиCB1D1.
Ответ:23.3 Решение: ПлоскостьCB1D1 параллельна плоскостиBDA1 , и отстоит от вершиныC1 на расстояние (см.
предыдущую задачу).
Учитывая, что длина диагонали куба равна , получим, что искомое расстояниеAF равно .233.3 Куб 8 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскости, проходящей через вершиныC,A1 и середину ребраBB1.
Куб 9 Ответ:6.3 Решение: Сечением куба данной плоскостью является ромбCEA1F.
Искомое расстояние равно высотеAH прямоугольного треугольникаACA1.AA1 = 1, AC =,CA1 = .
Следовательно, AH = .632 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиBC1D.
Ответ:3.3 Решение: ОбозначимOиO1 – центры граней куба.
ПрямаяAO1 параллельна плоскостиBC1D и, следовательно, расстояние от точкиA до плоскостиBC1D равно расстоянию от точкиO1 до этой плоскости, т.е.
высотеO1E треугольникаOO1C1 .
ИмеемOO1 = 1;O1C =;OC1 =.
Следовательно,O1E =2623.3 Куб 10 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиBA1C1.
Ответ:3.3 Решение: ПрямаяAC параллельна плоскостиBA1C1 .
Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от центраO грани ABCD куба до плоскостиBA1C1.
Из предыдущей задачи следует, что это расстояние равно3.3 Куб 11 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскости, проходящей через вершиныC,B1 и середину ребраDD1.
Куб 12 Ответ:1.
Решение: Сечением куба данной плоскостью является равнобедренная трапеция CEFB1 .
ПлоскостьABC1 перпендикулярна плоскостиCEF.
Искомое расстояние равно высотеAH треугольникаAPQ .
Имеем AP =, AQ = , PQ = .
Следовательно, высотаAH равна высотеPG треугольникаAPQ и равна 1.62324324 В правильном тетраэдре ABCD найдите расстояние от вершиныD до плоскостиABC.
Ответ:6.3 Решение.
ОбозначимE серединуBC .
Искомое расстояние равно высотеDH треугольникаADE , для которого DE = , HE = .
Следовательно, DH =326.36 Пирамида 1 Основанием треугольной пирамиде SABC является прямоугольный треугольник с катетами, равными 1.
Боковые ребра пирамиды равны 1.
Найдите расстояние от вершиныS до плоскостиABC.
Решение.
Из равенства боковых ребер следует, что основанием перпендикуляра, опущенного из вершиныS на плоскостьABC , является центр окружности, описанной около треугольникаABC , т.е.
серединаD стороныAC .
ТреугольникACS– прямоугольный и равнобедренный.
Следовательно, искомый перпендикулярSD равен2.2 Ответ:2.2 Пирамида 2 В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от вершиныS до плоскостиABC.
Ответ: Решение.
Искомое расстояние равно высотеSO треугольникаSAC , в котором SA = SC =1, AC = Следовательно, SO =2.2.2 Пирамида 3 В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSBC.
Ответ: Решение.
ОбозначимE,F – середины реберAD,BC .
Искомое расстояние равно высотеEH треугольникаSEF , в котором SE = SF =, EF =1.
Откуда, EH =6.326.3 Пирамида 4 В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSBD.
Ответ:2.2 Пирамида 5 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от вершиныS до плоскостиABC.
Ответ: Решение.
Искомое расстояние равно высотеSO равностороннего треугольника SAD.
Оно равно3.
Пирамида 6 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSBE.
Ответ:3.2 Пирамида 7 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSCE.
Ответ: Решение.
ОбозначимG точку пересеченияADиCE.
Искомое расстояние равно высотеAH треугольникаSAG , в котором SA =2, SG =, AG =, SO = Откуда AH =13232339.13339.13 Пирамида 8 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSBF.
Пирамида 9 Ответ: Решение.
ОбозначимG точку пересеченияADиBF.
Искомое расстояние равно высотеAH треугольникаSAG , в котором SA =2, SG =, AG =, SO = Откуда AH =1323.1239.1339.13 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSBC.
Ответ: Решение.
ПустьO – центр основания,G – середина ребраBC.
Искомое расстояние равно высотеOH треугольникаSOG , в котором SO =, OG =, SG = Откуда OH =3215.215.515.5 Пирамида 10 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSCD.
Ответ: Решение.
ПустьP,Q – середины реберAF,CD.
Искомое расстояние равно высотеPH треугольникаSPQ , в котором PQ = SO =, SP = SQ =.
Откуда PH =3152215.5215.5 Пирамида 11 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSBD.
Ответ: Решение.
ПустьP,Q – середины отрезковAE,BD.
Искомое расстояние равно высотеPH треугольникаSPQ , в котором PQ =1, SP = SQ =, SO = Откуда PH =132239.13239.133.
Пирамида 12 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкойA и плоскостьюA1B1C1.
Ответ: 1.
Призма 1 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкойA и плоскостьюBB1C1.
Ответ:3.2 Призма 2 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкойA и плоскостьюBCA1.
Ответ:21.7 Решение: Через точкиA1 иD – середину ребраBC , проведем прямую.
Искомым расстоянием будет расстояниеAE от точкиA до этой прямой.
В прямоугольном треугольникеADA1 имеем,AA1 = 1,AD = ,DA1 = .
Следовательно, AE =327221.7 Призма 3 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкойA и плоскостьюA1B1C.
Ответ:21.7 Решение: Достроим данную треугольную призму до четырехугольной.
Искомым расстоянием будет расстояние от точкиA1 до плоскостиCDA1 в призмеA …D1 .
Это расстояние мы нашли в предыдущей задаче.
Оно равно21.7 Призма 4 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкойA и плоскостьюA1C1B.
Решение: Искомое расстояние равно расстоянию от точкиA до плоскостиA1B1C из предыдущей задачи.
Ответ:21.7 Призма 5 В треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны 1, углыA1ABиA1AC равны 60о .
Найдите расстояние от вершиныC1 до плоскостиA1B1C.
Решение.
ПирамидаA1BB1C1 C – правильная с вершинойA1 , в основании которой квадрат.
Следовательно, основанием перпендикуляра, опущенного из вершиныC1 на плоскостьA1B1C, является серединаD отрезкаB1C .
Длина этого перпендикуляра равна2.2 Ответ:2.2 Призма 6 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиA1B1C1.
Ответ: 1.
Призма 7 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиDEE1.
Решение: Искомым расстоянием является длина отрезкаAE.
Она равна .
Ответ: .3 Призма 8 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиCDD1.
Решение: Искомым расстоянием является длина отрезкаAC.
Она равна .
Ответ: .3 Призма 9 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиBCC1.
Ответ: Решение: Продолжим отрезкиCB и FA до пересечения в точкеG .
ТреугольникABG равносторонний.
Искомым расстоянием является длина высотыAH треугольника ABG.
Она равна3.23.2 Призма 10 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиBDD1.
Ответ: 1.
Решение: Искомым расстоянием является длина отрезкаAB.
Она равна 1.
Призма 11 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиBEE1.
Ответ: Решение: Пусть O – центр нижнего основания.
Треугольник ABO – равносторонний.
Искомое расстояние равно высотеAH этого треугольника.
Она равна3.23.2 Призма 12 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиBFF1.
Ответ: Решение: Пусть O – центр нижнего основания,H – точка пересеченияAOиBF .
Тогда AH – искомое расстояние.
Оно равно1.21.2 Призма 14 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиCEE1.
Ответ: Решение: Проведем диагональAD .
Обозначим H – ее точку пересечения сCE.
AH – искомое расстояние.
Оно равно3.23.2 Призма 15 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиCFF1.
Ответ: Решение: Проведем отрезокAE .
Обозначим H – его точку пересечения сCА.
AH – искомое расстояние.
Оно равно3.23.2 Призма 16 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиBA1E1.
Ответ:2.2 Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляраAH , опущенного из точкиA на прямуюA1B.
Оно равно2.2 Призма 17 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиA1B1D.
Ответ: .
Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляраAH, опущенного из точкиA на прямуюA1E .
Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольникAEA1 .
ИмеемAA1 = 1, AE = , A1E = 2.
Следовательно, уголAEA1 равен 30о и высотаAH равна .3232 Призма 18 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиA1B1C.
Решение: Искомое расстояние равно высотеAH прямоугольного треугольникаAGA1 , в которомAA1 =1,AG = ,GA1 =7.232 Ответ:21.7 Из подобия треугольниковAA1G иHAG находим AH =21.7 Призма 19 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиF1C1D.
Решение: Заметим, что данная плоскость параллельна плоскостиA1B1C из предыдущей задачи, причем AE =2AG .
Следовательно, искомое расстояниеAH от точкиA до плоскостиF1C1D в два раза больше расстояния от точкиA до плоскостиA1B1C , т.е.
равно
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ 2 Иногда основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, не попадает на участок плоскости, изображенный на рисунке.
В этом случае можно воспользоваться тем, что расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости, до этой плоскости.
При этом перпендикуляр, опущенный из любой точки этой прямой на данную плоскость, будет равен расстоянию от исходной точки до плоскости.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ 3 Расстояние от точки до плоскости равно также расстоянию между параллельными плоскостями, одна из которых – данная плоскость, а другая проходит через данную точку.
При этом перпендикуляр, опущенный из любой точки этой плоскости на данную плоскость, будет равен расстоянию от исходной точки до плоскости.
В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиBCC1.
Ответ: 1.
Куб 1 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиCDD1.
Ответ: 1.
Куб 2 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиA1B1C1.
Ответ: 1.
Куб 3 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиBB1D1.
Ответ:2.2 Куб 4 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиBCD1.
Ответ:2.2 Куб 5 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиCDA1.
Ответ:2.2 Куб 6 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиBDA1.
Ответ:3.3 Решение: ДиагональAC1 куба перпендикулярна плоскостиBDA1.
ОбозначимO - центр грани ABCD,E - точка пересеченияAC1 и плоскостиBDA1 .
Длина отрезкаAE будет искомым расстоянием.В прямоугольном треугольникеAOA1 имеемAA1 = 1;
AO =;OA1 =.
Следовательно, AE =2623.3 Куб 7 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиCB1D1.
Ответ:23.3 Решение: ПлоскостьCB1D1 параллельна плоскостиBDA1 , и отстоит от вершиныC1 на расстояние (см.
предыдущую задачу).
Учитывая, что длина диагонали куба равна , получим, что искомое расстояниеAF равно .233.3 Куб 8 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскости, проходящей через вершиныC,A1 и середину ребраBB1.
Куб 9 Ответ:6.3 Решение: Сечением куба данной плоскостью является ромбCEA1F.
Искомое расстояние равно высотеAH прямоугольного треугольникаACA1.AA1 = 1, AC =,CA1 = .
Следовательно, AH = .632 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиBC1D.
Ответ:3.3 Решение: ОбозначимOиO1 – центры граней куба.
ПрямаяAO1 параллельна плоскостиBC1D и, следовательно, расстояние от точкиA до плоскостиBC1D равно расстоянию от точкиO1 до этой плоскости, т.е.
высотеO1E треугольникаOO1C1 .
ИмеемOO1 = 1;O1C =;OC1 =.
Следовательно,O1E =2623.3 Куб 10 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскостиBA1C1.
Ответ:3.3 Решение: ПрямаяAC параллельна плоскостиBA1C1 .
Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от центраO грани ABCD куба до плоскостиBA1C1.
Из предыдущей задачи следует, что это расстояние равно3.3 Куб 11 В единичном кубеA…D1 найдите расстояние от точкиA до плоскости, проходящей через вершиныC,B1 и середину ребраDD1.
Куб 12 Ответ:1.
Решение: Сечением куба данной плоскостью является равнобедренная трапеция CEFB1 .
ПлоскостьABC1 перпендикулярна плоскостиCEF.
Искомое расстояние равно высотеAH треугольникаAPQ .
Имеем AP =, AQ = , PQ = .
Следовательно, высотаAH равна высотеPG треугольникаAPQ и равна 1.62324324 В правильном тетраэдре ABCD найдите расстояние от вершиныD до плоскостиABC.
Ответ:6.3 Решение.
ОбозначимE серединуBC .
Искомое расстояние равно высотеDH треугольникаADE , для которого DE = , HE = .
Следовательно, DH =326.36 Пирамида 1 Основанием треугольной пирамиде SABC является прямоугольный треугольник с катетами, равными 1.
Боковые ребра пирамиды равны 1.
Найдите расстояние от вершиныS до плоскостиABC.
Решение.
Из равенства боковых ребер следует, что основанием перпендикуляра, опущенного из вершиныS на плоскостьABC , является центр окружности, описанной около треугольникаABC , т.е.
серединаD стороныAC .
ТреугольникACS– прямоугольный и равнобедренный.
Следовательно, искомый перпендикулярSD равен2.2 Ответ:2.2 Пирамида 2 В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от вершиныS до плоскостиABC.
Ответ: Решение.
Искомое расстояние равно высотеSO треугольникаSAC , в котором SA = SC =1, AC = Следовательно, SO =2.2.2 Пирамида 3 В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSBC.
Ответ: Решение.
ОбозначимE,F – середины реберAD,BC .
Искомое расстояние равно высотеEH треугольникаSEF , в котором SE = SF =, EF =1.
Откуда, EH =6.326.3 Пирамида 4 В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSBD.
Ответ:2.2 Пирамида 5 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от вершиныS до плоскостиABC.
Ответ: Решение.
Искомое расстояние равно высотеSO равностороннего треугольника SAD.
Оно равно3.
Пирамида 6 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSBE.
Ответ:3.2 Пирамида 7 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSCE.
Ответ: Решение.
ОбозначимG точку пересеченияADиCE.
Искомое расстояние равно высотеAH треугольникаSAG , в котором SA =2, SG =, AG =, SO = Откуда AH =13232339.13339.13 Пирамида 8 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSBF.
Пирамида 9 Ответ: Решение.
ОбозначимG точку пересеченияADиBF.
Искомое расстояние равно высотеAH треугольникаSAG , в котором SA =2, SG =, AG =, SO = Откуда AH =1323.1239.1339.13 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSBC.
Ответ: Решение.
ПустьO – центр основания,G – середина ребраBC.
Искомое расстояние равно высотеOH треугольникаSOG , в котором SO =, OG =, SG = Откуда OH =3215.215.515.5 Пирамида 10 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSCD.
Ответ: Решение.
ПустьP,Q – середины реберAF,CD.
Искомое расстояние равно высотеPH треугольникаSPQ , в котором PQ = SO =, SP = SQ =.
Откуда PH =3152215.5215.5 Пирамида 11 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиSBD.
Ответ: Решение.
ПустьP,Q – середины отрезковAE,BD.
Искомое расстояние равно высотеPH треугольникаSPQ , в котором PQ =1, SP = SQ =, SO = Откуда PH =132239.13239.133.
Пирамида 12 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкойA и плоскостьюA1B1C1.
Ответ: 1.
Призма 1 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкойA и плоскостьюBB1C1.
Ответ:3.2 Призма 2 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкойA и плоскостьюBCA1.
Ответ:21.7 Решение: Через точкиA1 иD – середину ребраBC , проведем прямую.
Искомым расстоянием будет расстояниеAE от точкиA до этой прямой.
В прямоугольном треугольникеADA1 имеем,AA1 = 1,AD = ,DA1 = .
Следовательно, AE =327221.7 Призма 3 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкойA и плоскостьюA1B1C.
Ответ:21.7 Решение: Достроим данную треугольную призму до четырехугольной.
Искомым расстоянием будет расстояние от точкиA1 до плоскостиCDA1 в призмеA …D1 .
Это расстояние мы нашли в предыдущей задаче.
Оно равно21.7 Призма 4 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкойA и плоскостьюA1C1B.
Решение: Искомое расстояние равно расстоянию от точкиA до плоскостиA1B1C из предыдущей задачи.
Ответ:21.7 Призма 5 В треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны 1, углыA1ABиA1AC равны 60о .
Найдите расстояние от вершиныC1 до плоскостиA1B1C.
Решение.
ПирамидаA1BB1C1 C – правильная с вершинойA1 , в основании которой квадрат.
Следовательно, основанием перпендикуляра, опущенного из вершиныC1 на плоскостьA1B1C, является серединаD отрезкаB1C .
Длина этого перпендикуляра равна2.2 Ответ:2.2 Призма 6 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиA1B1C1.
Ответ: 1.
Призма 7 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиDEE1.
Решение: Искомым расстоянием является длина отрезкаAE.
Она равна .
Ответ: .3 Призма 8 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиCDD1.
Решение: Искомым расстоянием является длина отрезкаAC.
Она равна .
Ответ: .3 Призма 9 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиBCC1.
Ответ: Решение: Продолжим отрезкиCB и FA до пересечения в точкеG .
ТреугольникABG равносторонний.
Искомым расстоянием является длина высотыAH треугольника ABG.
Она равна3.23.2 Призма 10 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиBDD1.
Ответ: 1.
Решение: Искомым расстоянием является длина отрезкаAB.
Она равна 1.
Призма 11 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиBEE1.
Ответ: Решение: Пусть O – центр нижнего основания.
Треугольник ABO – равносторонний.
Искомое расстояние равно высотеAH этого треугольника.
Она равна3.23.2 Призма 12 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиBFF1.
Ответ: Решение: Пусть O – центр нижнего основания,H – точка пересеченияAOиBF .
Тогда AH – искомое расстояние.
Оно равно1.21.2 Призма 14 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиCEE1.
Ответ: Решение: Проведем диагональAD .
Обозначим H – ее точку пересечения сCE.
AH – искомое расстояние.
Оно равно3.23.2 Призма 15 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиCFF1.
Ответ: Решение: Проведем отрезокAE .
Обозначим H – его точку пересечения сCА.
AH – искомое расстояние.
Оно равно3.23.2 Призма 16 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиBA1E1.
Ответ:2.2 Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляраAH , опущенного из точкиA на прямуюA1B.
Оно равно2.2 Призма 17 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиA1B1D.
Ответ: .
Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляраAH, опущенного из точкиA на прямуюA1E .
Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольникAEA1 .
ИмеемAA1 = 1, AE = , A1E = 2.
Следовательно, уголAEA1 равен 30о и высотаAH равна .3232 Призма 18 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиA1B1C.
Решение: Искомое расстояние равно высотеAH прямоугольного треугольникаAGA1 , в которомAA1 =1,AG = ,GA1 =7.232 Ответ:21.7 Из подобия треугольниковAA1G иHAG находим AH =21.7 Призма 19 В правильной 6-й призмеA…F1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние от точкиA до плоскостиF1C1D.
Решение: Заметим, что данная плоскость параллельна плоскостиA1B1C из предыдущей задачи, причем AE =2AG .
Следовательно, искомое расстояниеAH от точкиA до плоскостиF1C1D в два раза больше расстояния от точкиA до плоскостиA1B1C , т.е.
равно